Max Sum Plus Plus (动态规划) HDU1024

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

(http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=1375)

题意：长度为n的序列里，m段不相关区间的最大和

思路：我们先要确定一个东西，就是状态，这里我用dp[i][j]表示前j个数在取a[j]情况下分i段的最大和；

那么我们为了找规律，可以先来一发Excel，就以样例为例子：

然后我们可以发现其实红圈里的8是状态dp[2][6]（i=2， j=6），那么我们可以想想这个位置怎么推导，很明显，他可以选择和分i-1块的最大值相加，得到的i块可能是最大，或者他也可以直接和同样分i块的j-1的位置相加，这样就相当于不断开，得到最大。那么也就是他只有两种选择，第一个是dp[i][j-1]，第二个是max(dp[i-1][i-1]~dp[i-1][j-1])，也就是dp[i][i~n]只和dp[i-1][i-1~n]这一行的状态有关，和别的无关。那么我们就可以用滚动数组保存；但是如果你找max(dp[i-1][i-1]~dp[i-1][j-1])的时候用的是for查找的话，那就凉凉了，因为那样复杂度就是O(n^3)，也就是我们要用一个maxn来记住之前的最大值，然后每次更新记录；具体看代码。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N= 1001000;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
long long dp[2][N], maxn;
int a[N];
int main( ){
    int m, n, t;
    while(~scanf("%d%d", &m, &n)){
        t=1;///用来滚动数组
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            dp[0][i]=-INF;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            scanf("%d", &a[i]);
        for(int i=1; i<=m; ++i, t=1-t){///t=1-t就是在循环滚动
            dp[t][i]=dp[1-t][i-1]+a[i];///对角线的值其实就是前n项和啦！！
            maxn=dp[1-t][i-1];///别把这个忘了
            for(int j=i+1; j<=n; ++j){
                maxn=max(maxn, dp[1-t][j-1]);///maxn更新记录max(dp[i-1][i-1]~dp[i-1][j-1])
                dp[t][j]=max(dp[t][j-1], maxn)+a[j];///状态的转移步骤
            }
        }
        t=1-t;///最后i>m时的那一个++i, t=1-t的影响要转过来
        maxn=-INF;
        /**
            注意，dp[i][j]是表示前j个数在取a[j]情况下分i段的最大和；
            也就是dp[m%2][n不一定是最优解，因为可能不加a[n]还更大；
        **/
        for(int i=m; i<=n; ++i)
            maxn=max(maxn, dp[t][i]);
        printf("%I64d\n", maxn);
    }
    return 0;
}