Codeforces 665E. Beautiful Subarrays (字典树)
题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/665/E
(http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=2255)
题意：找出有多少个连续的区间[l,r](1 ≤ l ≤ r ≤ n),该区间中所有的数的异或值大于等于k；
思路：首先，如果是单看题目的话，会发现暴力的话复杂度是O(n^3),但是我们先预处理异或前缀和，然后你会发现[l,r]区间的异或和等于s[l-1]^s[r]，这样就可以O(n^2)的求得答案了，但是因为n是1e6，也就是说暴力绝对超时，因为时间才开了3s（虽然说cf里一秒时限，1e10复杂度也可以莽一莽，但是这个是1e12啊！！）。然后，我们会想，因为是异或，而且是要比较，于是乎我们就想到了字典树（不要问为什么，我就是这样想到的）。然后我们可以开始一波分析：
{
假设：全是5位二进制(默认补全到5位)
前提：S[i]是前i个数的异或和， K为题目里的K， A是S[i]^A=K 即S[i]^K=A
S[i] = 5
K = 24
从高位到低位存入字典树时（默认已经存入，现在在find操作）：
{
S[i]：00101
K ： 11000
第五位时：k=1，则说明这一位必须往S[i]第五位的异或值方向走，因为我们现在是在查A在字典树上的路径，至于为什么只跑这个数就可以求答案，我们慢慢来。
第四位同理；
第三位时：（#敲黑板划重点）这个时候K的第三位为0，按照我说的来看，我们找A在树上的路径，那么此时我们要跑的下一步是S[i]的第三位和K第三位的异或值也就是A的第三位，那么如果我下一步不往这个方向走呢（此时A的第三位等于S[i]的第三位）？我往S[i]的第三位异或1的方向跑（反向），那么那个方向延伸的树枝上的所有数字就都是大于K的（这里不做解释），也就是我们虽然不需要跑那里，但是我们要加上经过那个延伸出去的树枝包含的数字个数；
第二位、第一位同第三位的代码；
在跑完所有的情况的时候，我们就求出了所有的A，A满足S[i]^A>k，没错，还少，还少一个等于的情况，此时，我们只需要判断我们是否跑完了5位，如果跑完了5位，就加上使用过当前节点的数的个数就得到了答案。
}
换一种说法其实就是在字典树上跑A这个数，如果跑到A这个数的某一节点的时候，此时恰好k的这位为0，那么就加上那一位上s[i]^1方向的所有跑过的数字的数量
Ps：为什么从高位到低位，要是有人不明白就按照上面的方法看看吧！然后你会发现因为高位的值的不确定导致你不能判断。
}
于是乎我们就可以开始写代码了。
Ps：这题的数组大小开到1<<24就好了（本菜鸡之前因为数组开小wa成傻逼）
1 #include<string.h> 2 #include<stdio.h> 3 #include<stdlib.h> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 struct Trie 7 { 8 const static int range=2; 9 const static int maxn=1<<24;///字典树大小 10 struct node 11 { 12 int next[range]; 13 int cnt;///存该节点的经过数字之和 14 } Trienode[maxn]; 15 int size; 16 void init() 17 { 18 memset(Trienode[0].next,0,sizeof(Trienode[0].next)); 19 Trienode[0].cnt=0; 20 size=1; 21 } 22 void insert(int s) 23 { 24 int now=0; 25 for(int i=30; i>=0; i--)///存31位 26 { 27 int c=(s>>i)&1; 28 if(!Trienode[now].next[c])///没有该节点就开辟 29 { 30 memset(Trienode[size].next,0,sizeof(Trienode[size].next)); 31 Trienode[size].cnt=0; 32 Trienode[now].next[c]=size++; 33 } 34 now=Trienode[now].next[c];///往后存 35 Trienode[now].cnt++;///这个数字经过了该节点，cnt++，因为第一个节点不算，所以说是先往后走再cnt++ 36 } 37 } 38 int find(int s, int k) 39 { 40 int now=0,i, ans=0; 41 for(i=30; i>=0; i--)///找30位 42 { 43 int c=(s>>i)&1, key=(k>>i)&1;///c:存s[i]的第i位， key:存k的第i位 44 if(!key&&Trienode[now].next[c^1])///如果key=0的时候，参照上面的分析 45 ans+=Trienode[Trienode[now].next[c^1]].cnt; 46 if(Trienode[now].next[c^key])///往s[i]^K的方向越走越远 47 now=Trienode[now].next[c^key]; 48 else 49 break;///没路 50 } 51 if(i==-1)///跑完30~0的加上最后一位，其他的则是s[i]^K本身不存在 52 ans+=Trienode[now].cnt; 53 return ans; 54 } 55 } tree; 56 int ss[1000010]; 57 int main() 58 { 59 int n, k; 60 long long ans=0;///答案会爆long long 61 tree.init( ); 62 tree.insert(0);///为什么要插入0呢？ 因为前i项异或和等于s[i]^0,这样就可以不用特判 63 ss[0]=0;///因为ss[i]^0=ss[i],用在输入ss[i]时 64 scanf("%d%d", &n, &k); 65 for(int i=1; i<=n; i++) 66 { 67 scanf("%d", &ss[i]); 68 ss[i]^=ss[i-1];///处理异或前缀和 69 ans+=tree.find(ss[i], k);///先找 70 tree.insert(ss[i]);///再查 71 } 72 printf("%I64d\n", ans); 73 }
