【LeetCode回溯算法#10】图解N皇后问题（即回溯算法在二维数组中的应用）
N皇后
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
- 输入：n = 4
- 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
- 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
- 输入：n = 1
- 输出：[["Q"]]
思路
如何使用回溯方法去搜索一个二维数组？（难点）
其实本题的难点就主要是对于二维数组的操作的不熟练造成的，画个图示先再说：
上图展示了在一个 4X4 的棋盘中，其中一种正确摆放结果的获取过程。如图所示，实际上在棋盘（二维数组）中搜索摆放结果时，可以逐层搜索
即：把每层递归看做棋盘中的一层，当前递归处理当前层棋盘的搜索任务
那么棋盘有多大，最后就会触发多少层递归（这里是 4X4 所以有4层递归）
二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。当我们遍历到棋盘的最底层时也就到了叶子节点处，此时搜索结束。（结束条件）
代码分析
还是老一套，回溯三部曲
三部曲
1、确定回溯函数的参数以及返回值
看题目给的输出结果得知，我们仍需定义一个二维结果数组res；
输入参数有：棋盘的大小n， 遍历行数记录遍历row以及一维数组chessboard（充当单层棋盘，不要在一开头就定义，因为要每行都清空）
class Solution {
private:
vector<vector<string>> res;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){//确定回溯函数的参数以及返回值
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
}
};
2、确定终止条件
根据上面的讨论，我们希望在遍历到棋盘底部的时候结束
这很好判断，通过row来看即可，row == n就到底了
class Solution {
private:
vector<vector<string>> res;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){//确定回溯函数的参数以及返回值
//确定终止条件
if(row == n){//将当前棋盘结果，也就是chessboard，保存至二维结果数组
res.push_back(chessboard);
return;
}
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
}
};
3、确定单层处理逻辑
变量row代表着棋盘的行，也控制着递归的深度
而每层里面的for中的循环变量我们命名为col，其控制着棋盘的列
通过行列变量的配合最终确定皇后的位置
与此同时，在单层处理逻辑中，我们还要加入对N皇后问题规则进行判断的函数isVaild，用以确定当前摆放位置是否合法
class Solution {
private:
vector<vector<string>> res;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){//确定回溯函数的参数以及返回值
//确定终止条件
if(row == n){//将当前棋盘结果，也就是chessboard，保存至二维结果数组
res.push_back(chessboard);
return;
}
//确定单层处理逻辑,每次都从新的列开始搜，因此col初始值是0
for(int col = 0; col < n; ++col){
if(isVaild()){
chessboard[row][col] = 'Q';
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.';//题干中给了用'.'表示空
}
}
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
}
};
注意在进入下一层递归时要跳过当前行
规则判断函数isVaild
在N皇后问题中，皇后的摆放规则如下：
- 同一行上不能有两个皇后（不能同行）
- 同一列上不能有两个皇后（不能同列）
- 45度和135度角斜线上不能有两个皇后（不能同斜线）
那么我们只要在isVaild函数中对行、列以及斜线上的皇后情况进行检查就行
那么容易得出，isVaild函数的输入参数是与回溯函数相同的，即int n, int row, vector<string>& chessboard
不过，我们还需要将col也作为参数输入，既然要检查行，行不能不给啊
bool isVaild(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n){
//检查列,就要指定列遍历行
for(int i = 0; i < row, ++i){
if(chessboard[i][col] == 'Q') return false;
}
//检查45°,以4X4为例，检查以下坐标
//(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)
for(int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j>= 0; --i , --j){
if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
}
//检查135°
//检查除45°涉及的坐标以外的所有坐标，顺序可能是乱的，但一定都会检查到，不理解子集画一画想一想
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; --i , ++j){//注意条件，j要++
if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
}
return true;
}
注意事项：
1、这里其实我们不用去检查行（类似检查列的那种操作），因为一层递归for只拿行中的一个数，不会有重
2、关于遍历45度和135度的逻辑，如果实在忘了就自己画个图理解一下
3、实现45度和135度遍历时，我们使用的for的遍历条件是关键，请注意记忆
- 45度时，row和col作为输入肯定越给越大，因此i、j的值每次遍历时都会变大，而遍历条件是
i >= 0 && j>= 0，因此需要-- - 135度时，row和col作为输入也会越给越大，但j的遍历条件是要小于n，因此其要++
（有新理解再补充）
完整代码
class Solution {
private:
vector<vector<string>> res;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){//确定回溯函数的参数以及返回值
//确定终止条件
if(row == n){//将当前棋盘结果，也就是chessboard，保存至二维结果数组
res.push_back(chessboard);
return;
}
//确定单层处理逻辑,每次都从新的列开始搜，因此col初始值是0
for(int col = 0; col < n; ++col){
if(isVaild(row, col, chessboard, n)){
chessboard[row][col] = 'Q';
backtracking(n, row + 1, chessboard);//注意要跳过当前行
chessboard[row][col] = '.';//题干中给了用'.'表示空
}
}
}
bool isVaild(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n){
//检查列,就要指定列遍历行
for(int i = 0; i < row, ++i){
if(chessboard[i][col] == 'Q') return false;
}
//检查45°,以4X4为例，检查以下坐标
//(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)
for(int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j>= 0; --i , --j){
if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
}
//检查135°
//检查除45°涉及的坐标以外的所有坐标，顺序可能是乱的，但一定都会检查到，不理解子集画一画想一想
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; --i , ++j){//注意条件，j要++
if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
}
return true;
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
//定义大小为nxn的棋盘chessboard
std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return res;
}
};
注：std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));使用C++ STL中的vector和string类来创建一个棋盘。具体来说，它创建了一个大小为n x n的字符串向量，每个元素都是一个由n个'.'字符组成的字符串。
std::vector的构造函数将n作为第一个参数传递，表示要创建一个大小为n的向量，第二个参数std::string(n, '.')将创建一个由n个'.'字符组成的字符串，这个字符串将被用来初始化向量中的每个元素。
