Luogu 4310 绝世好题

BZOJ 4300

先把这堆东西丢到博客里，以后再复习。

首先考虑暴力的$dp$，设$f_i$表示以$i$结尾的满足条件的序列的最长长度，有：

　　　　$f_i = max(f_j) + 1$    $j < i $ $,$  $ a_j \& a_i \neq 0$

　　　　$ans = max(f_i)$    $1 \leq i \leq n$

这样是$n^2$的。

考虑二进制意义下的按位与，如果要使这个运算的结果不为$0$的话，必须要有一位两个数都是$1$，那么我们可以考虑拆位进行$dp$，设$g_j$表示第$j$位是$1$结尾的最长的满足条件的序列的长度。对于每一个$i$，有:

　　　　$f_i = max(g_j) + 1$   $0 \leq j \leq 32$  并且$a_i$的第$j$位为$1$。

　　　　$g_j = max(f_i, g_j)$   $a_i$的第$j$位为$1$。

　　　　$ans = max(f_i)$    $1 \leq i \leq n$

事实上在写的时候并没有必要把$f$开出来。

时间复杂度$O(nlog(Maxn))$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
const int M = 35;

int n, a[N], f[M];

inline void read(int &X) {
    X = 0; char ch = 0; int op = 1;
    for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar())
        if(ch == '-') op = -1;
    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48;
    X *= op;
}

inline void chkMax(int &x, int y) {
    if(y > x) x = y;
}

int main() {
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int now = 0;
        for(int j = 0; j <= 32; j++)
            if((a[i] >> j) & 1) chkMax(now, f[j]);
        ++now;
        chkMax(ans, now);
        for(int j = 0; j <= 32; j++)
            if((a[i] >> j) & 1) chkMax(f[j], now);
    }
    
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}