Luogu 3825 [NOI2017]游戏

Luogu的spj现在挂了，要去其他OJ提交。

2-SAT

发现如果不考虑$x$的情况，这就成为一个2-SAT的裸题了，我们有$O(n + m)$的方法可以解决它。

那加上$x$的情况怎么弄……岂不是变成一个3-SAT。

滑稽吧，3-SAT已经被证明是一个完全NPC问题了……

再观察一下数据范围发现为$x$的点最多只有$8$个，那么我们思考一下（看一下题解）就会发现$x$的点取$a$或者$b$的情况其实就可以遍历到所有可行解了，所以直接取枚举这个$2^{d}$，然后$O(n + m)$地去检验它，时间复杂度$O(2^{d}(n + m))$。

连边方法（假设当前的条件是$x, c1, y, c2$）：

1、如果第$x$场不能使用$x$，那么直接$continue$，这个条件显然没有影响。

2、如果第$x$场能使用$x$，第$y$场不能使用$y$，那么直接把$(x, true)$连向$(x, false)$，代表如果选了$(x, true)$就无解。

3、如果第$x$场可以使用$x$，第$y$场也可以使用$y$，那么按照套路连成一个对偶图，把$(x, true)$向$(y, true)$连边，同时把$(y, false)$向$(x, false)$连边。

关于$(x, true)$和$(x, false)$的记法，可以自己yy一下，要把$(x, true)$记为$x$, $(x, false)$记为$x + n$， 最后输出的时候对应回来就好。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

int n, m, K, pos[10], tot, head[N];
int dfsc, dfn[N], low[N], top, sta[N], scc, bel[N];
char str[N];
bool vis[N];

struct Eedge {
    int to, nxt;
} e[N << 1];

inline void add(int from, int to) {
    e[++tot].to = to;
    e[tot].nxt = head[from];
    head[from] = tot;
}

inline void read(int &X) {
    X = 0; char ch = 0; int op = 1;
    for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar())
        if(ch == '-') op = -1;
    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48;
    X *= op;
}

struct Restrain {
    char c1, c2;
    int x, y;
    
    inline void readIn() {
        c1 = c2 = 0;
        read(x); for(c1 = getchar(); c1 != 'A' && c1 != 'B' && c1 != 'C'; c1 = getchar());
        read(y); for(c2 = getchar(); c2 != 'A' && c2 != 'B' && c2 != 'C'; c2 = getchar());
    }
    
} a[N];

inline int id(int now, char c) {
    if(str[now] == 'a') return c == 'C' ? now : now + n;
    if(str[now] == 'b') return c == 'A' ? now : now + n;
    if(str[now] == 'c') return c == 'B' ? now : now + n;
    return 0;
}

inline int opp(int nowId) {
    return nowId > n ? nowId - n : nowId + n;
}

inline int min(int x, int y) {
    return x > y ? y : x;
}

void tarjan(int x) {
    dfn[x] = low[x] = ++dfsc;
    vis[x] = 1, sta[++top] = x;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to;
        if(!dfn[y]) {
            tarjan(y);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
        } else if(vis[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
    
    if(low[x] == dfn[x]) {
        ++scc;
        for(; sta[top + 1] != x; --top) {
            vis[sta[top]] = 0;
            bel[sta[top]] = scc;
        }
    }
}

inline bool solve() {
    dfsc = tot = top = scc = 0;
    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
    memset(low, 0, sizeof(low));
    memset(bel, 0, sizeof(bel));
    memset(head, 0, sizeof(head));
    
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        if(a[i].c1 + 32 == str[a[i].x]) continue;
        if(a[i].c1 == a[i].c2 && a[i].x == a[i].y) continue;
        int p1 = id(a[i].x, a[i].c1), p2 = opp(p1);
        int p3 = id(a[i].y, a[i].c2), p4 = opp(p3);
        if(a[i].c2 + 32 == str[a[i].y]) {
            add(p1, p2);
            continue;
        }
        add(p1, p3), add(p4, p2);
    }
    
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(bel[i] == bel[i + n]) return 0;
    
    return 1;
}

inline void print() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(bel[i] < bel[i + n]) {
            if(str[i] == 'a') putchar('C');
            if(str[i] == 'b') putchar('A');
            if(str[i] == 'c') putchar('B');
        } else {
            if(str[i] == 'a') putchar('B');
            if(str[i] == 'b') putchar('C');
            if(str[i] == 'c') putchar('A');            
        }
    }
    exit(0);
}

int main() {
    read(n), read(K);
    
    scanf("%s", str + 1);
    K = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(str[i] == 'x') pos[++K] = i;
    
/*    for(int i = 1; i <= K; i++)
        printf("%d ", pos[i]);
    printf("\n");   */
    
    read(m);
    for(int i = 1; i <= m; i++) a[i].readIn();
    
/*    for(int i = 1; i <= m; i++)
        printf("%d %c %d %c\n", a[i].x, a[i].c1, a[i].y, a[i].c2);   */
    
    for(int S = 0; S < (1 << K); S++) {
        for(int i = 0; i < K; i++)
            if((S >> i) & 1) str[pos[i + 1]] = 'a';
            else str[pos[i + 1]] = 'b';
        
        bool flag = solve();
        if(flag) print();
    }
    
    puts("-1");
    return 0;
}