Luogu 3193 [HNOI2008]GT考试

BZOJ1009

妙！

推荐这篇题解： https://www.luogu.org/blog/Edgration/solution-p3193

考虑设计dp，设$f_{i, j}$表示长串匹配到i，短串匹配到j的方案数，初值有$f_{0,0} = 1$

　　　　那么最后的答案   $ans = \sum_{i = 0}^{m - 1} f_{n,i}$

考虑转移，假设当前填到第i位，有一种填法能使$f_{i,j}$转移到$f_{i + 1, j + 1}$，那么填剩下的数字全部都转移到$f_{i + 1,0}$吗？

错！这就是一开始想错的地方，填不一样的数字并不一定是转移到0的匹配位置，而是考虑转移到以j结尾的后缀的最长前缀！

设$g_{i, j}$表示从i的匹配长度转移到j的匹配长度的方案数，有转移：

　　　　　　$f_{i, j} = \sum_{k = 0}^{m - 1}f_{i - 1, k} * g_{k, j}$

因为给出的短串是恒定的，所以g数组的值也是恒定的，而找与后缀相匹配的最长前缀，肯定是想到kmp啦

然而这样还是不足以通过本题，再次观察这个方程，发现这就是一个矩阵乘法的形式，相当于把f看成一个1*m的矩阵F，把g看成一个m*m的转移矩阵G。

　　　　　　$F' = F * G^{n}$ 用G转移Fn次

到此为止，本题全部解决，时间复杂度$O(m^{2}logn)$

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 25;

int n, m, P, nxt[N], mat[N][N];
char str[N];

inline void prework() {
    nxt[1] = nxt[0] = 0;
    for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
        for(; j > 0 && str[i] != str[j + 1]; j = nxt[j]);
        if(str[i] == str[j + 1]) j++;
        nxt[i] = j;
    }
    
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        for(int j = '0'; j <= '9'; j++) {
            int tmp = i;
            for(; tmp > 0 && str[tmp + 1] != j; tmp = nxt[tmp]);
            if(str[tmp + 1] == j) tmp++;
            if(tmp < m) mat[i][tmp]++;
        }
    }
}

inline void work(int &x, int y) {
    x = (x + y % P) % P;
}

struct Matrix {
    int s[N][N];
    
    inline void init() {
        memset(s, 0, sizeof(s));
    }
    
    friend Matrix operator * (const Matrix &x, const Matrix &y) {
        Matrix res;
        res.init();
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < m; j++)
                for(int k = 0; k < m; k++)
                    work(res.s[i][j], x.s[i][k] * y.s[k][j]);
        return res;
    }
    
    inline Matrix pow(int y) {
        Matrix res = *this, x = *this;
        for(y--; y > 0; y >>= 1) {
            if(y & 1) res = res * x;
            x = x * x;
        }
        return res;
    }
    
} f, g;

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &P);
    scanf("%s", str + 1);
    prework();
    
    for(int i = 0; i < m; i++)
        for(int j = 0; j < m; j++)
            g.s[i][j] = mat[i][j];
    g = g.pow(n);
    
    f.s[0][0] = 1; f = f * g;
    
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        work(ans, f.s[0][i]);
    printf("%d\n", ans);
    
    return 0;
}