Luogu 6162 [Cnoi2020]四角链

设\(f(n, k)\)表示填\(n\)个格子，填了数字有\(k\)个的方案数，有初值\(f(0, 0) = 1\)。
不填第\(n\)个格子的方案数为\(f(n - 1, k)\)，填第\(n\)个格子时，相当于从\(n - (k - 1)\)个没用过的数中选一个出来填进去，方案数为\((n - k + 1) * f(n - 1, k - 1)\)。
发现这个东西和第二类斯特林数的递推式很相似，打个表可以发现\(f(n - 1, k) = S(n, n - k)\)，套上第二类斯特林数的公式，时间复杂度\(O(nlogn)\)。
简单证明：

\[f(n - 1, k) = f(n - 2, k) + (n - k) * f(n - 2, k - 1) \]

令\(m = n - k\),

\[f(n - 1, n - m) = f(n - 2, n - m) + m * f(n - 2, n - m - 1) \]

再令\(f(n - 2, n - m - 1) = g(n, m)\),

\[g(n + 1, m) = g(n, m - 1) + m * g(n, m) \]

（这个地方有一些难懂，事实上\(f\)的两个参数都加1，\(g\)中的第二个参数是由\(f\)中的两个参数作差得到的，所以应当不变）
\(g\)就是第二类斯特林数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair <int, int> pin;

const int N = 1e6 + 5;
const int Maxn = 1e6;
const ll P = 998244353LL;

ll fac[N], ifac[N];

template <typename T>
inline void read(T &X) {
    char ch = 0; T op = 1; 
    for (X = 0; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar())
        if (ch == '-') op = -1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        X = (X * 10) + ch - '0';
    X *= op;
}

inline ll fpow(ll x, ll y) {
    ll res = 1;
    for (; y > 0; y >>= 1) {
        if (y & 1) res = res * x % P;
        x = x * x % P;
    }
    return res;
}

inline ll getc(ll n, ll m) {
    if (n < m) return 0LL;
    return fac[n] * ifac[m] % P * ifac[n - m] % P;
}

inline void inc(ll &x, ll y) {
    x += y;
    if (x >= P) x -= P;
}

inline void sub(ll &x, ll y) {
    x -= y;
    if (x < 0) x += P;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("sample.in", "r", stdin);
    clock_t st_clock = clock();
#endif

    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= Maxn; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
    ifac[Maxn] = fpow(fac[Maxn], P - 2);
    for (int i = Maxn - 1; i >= 0; i--) ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % P;
    
    ll n, m, k, res = 0;
    read(n), read(k);
    m = n - k;
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        if (i & 1) sub(res, getc(m, i) * fpow(m - i, n) % P); 
        else inc(res, getc(m, i) * fpow(m - i, n) % P);
    }
    res = res * ifac[m] % P;
    printf("%lld\n", res);

#ifndef ONLINE_JUDGE
    clock_t ed_clock = clock();
    printf("time = %f ms\n", (double)(ed_clock - st_clock) / CLOCKS_PER_SEC * 1000);
#endif
    return 0;
}