HDU 3507 Print Article - 斜率优化DP

传送门

题目大意：

将给定序列分段输出，输出每段的费用计算式已经给出，就最小的输出费用。

题目分析：

首先列出转移方程：

\[f[i] = max\{f[j] + (sum[i] - sum[j]) ^ 2 + M\} \]

转移是\(n^2\)的，下面考虑优化。

如果j比l优，即\(f[j] + (sum[i] - sum[j]) ^ 2 + M <= fl] + (sum[i] - sum[l]) ^ 2 + M\)，化简得：

\[S(j, l) = \frac{(f[j] + sum[j]^2) - (f[l] + sum[l]^2)}{2(sum[j] - sum[l])} \le sum[i] \]

观察到上式，可以使用斜率优化。

一篇很好的博客

用斜率维护下凸包，更新答案即可。注意斜率优化时尽量使用乘法代替除法，避免精度问题。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500050, M = 1050;
int n, m, c[N];
int que[N];
int head, tail;
int f[N], sum[N];

inline int calc(int i, int j){
	return f[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) + m;
}

inline bool slopeCheck(int i, int j, int k){
	return ((f[i] + sum[i] * sum[i]) - (f[j] + sum[j] * sum[j])) * 2 * (sum[j] - sum[k]) <=
		   ((f[j] + sum[j] * sum[j]) - (f[k] + sum[k] * sum[k])) * 2 * (sum[i] - sum[j]);
}

int main(){
	freopen("h.in", "r", stdin);
	while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF){
		memset(f, 0, sizeof f);
		sum[0] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &c[i]), sum[i] = sum[i - 1] + c[i];
		que[head = tail = 1] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			while(head + 1 <= tail && calc(i, que[head]) >= calc(i, que[head + 1])) head++;
			f[i] = calc(i, que[head]);
			while(head <= tail - 1 && slopeCheck(i, que[tail], que[tail - 1])) tail--;
			que[++tail] = i;
		}
		printf("%d\n", f[n]);
	}
	return 0;
}