【序列操作IV】树状数组套线段树/树套树

题目描述

给出序列 a1，a2，…，an（0≤ai≤109），有关序列的两种操作。

1. ai（1≤i≤n）变成 x（0≤x≤109）。

2. 求 al，al+1，…，ar（1≤l≤r≤n）第 k（1≤k≤r-l+1）小。

输入格式

第一行包含两个数 n（1≤n≤2×104）和 m（1≤m≤2×104），表示序列长度和操作次数。

接下来一行 n 个数，以空格隔开，表示 a1，a2，…，an 。

接下来m行，每行为以下两种格式之一：

• • 0 i x ，  表示 ai＝x。
  • 1 l r k ，求 al，al+1，…，ar 的第 k 小。

输出格式

对于每次询问，输出单独的一行表示答案。

样例数据 1

输入

5 3 
1 2 3 4 5 
1 1 5 3 
0 3 5 
1 1 5 3

输出

3 
4

题目分析

本题有多种解法。这里先讲一下较为简单的树状数组套线段树。

外层树状数组n个节点分别对应下标，每个节点其实是一个权值为下标的线段树的根节点（一共有n颗），那么树状数组中的i号点表示的就是区间为1~i的元素，而其下的权值线段树则记录在该区间的权值出现次数。

由于树状数组有前缀和的性质，插入时会更新它及其以后的所有树，询问时也能访问它及其以前的所有树，所以要查询L~R的k小，就只需要将有关区间的点放入一个数组，然后分别进入左子树、右子树查询即可。

看看代码很好理解。

code

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<algorithm> using namespace std;   const int N = 2e4 + 5, M = 2e6 + 5; int len, a[N], b[N * 2], root[N], tot; int cur[N], n, m; struct node{     int cnt, lc, rc; }tr[M]; struct qry{     int opt, a, b, c; }Q[N];   inline int read(){     int i = 0, f = 1; char ch = getchar();     for(; (ch < '0' || ch > '9') && ch != '-'; ch = getchar());     if(ch == '-') f = -1, ch = getchar();     for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())         i = (i << 3) + (i << 1) + (ch - '0');     return i * f; }   inline void wr(int x){     if(x < 0) putchar('-'), x = -x;     if(x > 9) wr(x / 10);     putchar(x % 10 + '0'); }   inline void disc_init(){     sort(b + 1, b + len + 1);     len = unique(b + 1, b + len + 1) - (b + 1);     for(int i = 1; i <= n; i++)         a[i] = lower_bound(b + 1, b + len + 1, a[i]) - b;     for(int i = 1; i <= m; i++)         if(Q[i].opt == 0) Q[i].b = lower_bound(b + 1, b + len + 1, Q[i].b) - b; } inline void insert(int &k, int l, int r, int p, int v){     if(!k) k = ++tot;     tr[k].cnt += v;     if(l == r) return;     int mid = l + r >> 1;     if(p <= mid) insert(tr[k].lc, l, mid, p, v);     else insert(tr[k].rc, mid + 1, r, p, v); }   inline void update(int k, int p, int v){     for(int i = k; i <= n; i += (i & -i))         insert(root[i], 1, len, p, v); }   inline void gotoPos(int lx, int rx){     for(int i = rx; i > 0; i -= (i & -i)) cur[i] = root[i];     for(int i = lx; i > 0; i -= (i & -i)) cur[i] = root[i]; }   inline int CntLc(int lx, int rx){     int ret = 0;     for(int i = rx; i > 0; i -= (i & -i)) ret += tr[tr[cur[i]].lc].cnt;     for(int i = lx; i > 0; i -= (i & -i)) ret -= tr[tr[cur[i]].lc].cnt;     return ret; }   inline int query(int nl, int nr, int l, int r, int k){     if(l == r) return l;     int ret = CntLc(nl, nr), mid = l + r >> 1;     if(ret >= k){         for(int i = nr; i > 0; i -= (i & -i)) cur[i] = tr[cur[i]].lc;         for(int i = nl; i > 0; i -= (i & -i)) cur[i] = tr[cur[i]].lc;         return query(nl, nr, l, mid, k);     }     else{         for(int i = nr; i > 0; i -= (i & -i)) cur[i] = tr[cur[i]].rc;         for(int i = nl; i > 0; i -= (i & -i)) cur[i] = tr[cur[i]].rc;         return query(nl, nr, mid + 1, r, k - ret);     } }   inline void tree_init(){     for(int i = 1; i <= n; i++) update(i, a[i], 1); }   int main(){     n = read(), m = read();     for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = b[++len] = read();     for(int i = 1; i <= m; i++){         Q[i].opt = read();         if(Q[i].opt == 1)             Q[i].a = read(), Q[i].b = read(), Q[i].c = read();         else Q[i].a = read(), Q[i].b = b[++len] = read();     }     disc_init();     tree_init();     for(int i = 1; i <= m; i++){         if(Q[i].opt == 0){             update(Q[i].a, a[Q[i].a], -1);             a[Q[i].a] = Q[i].b;             update(Q[i].a, Q[i].b, 1);         }         else{             gotoPos(Q[i].a - 1, Q[i].b);             wr(b[query(Q[i].a - 1, Q[i].b, 1, len, Q[i].c)]), putchar('\n');         }     } }