导数重要内容梳理

导数作为处理函数问题强有力的工具，涉及到的知识与内容极多，本文仅梳理导数部分重要或者提升内容。本分几乎不涉及例题，具体题目以及练习可以看导数配套题单。

一、六小函数画像

导数问题中常见的涉及 \(e^x\) 与 \(\ln x\) 的六个函数 分别为 \(y=xe^x\) ①，\(y=\dfrac{x}{e^x}\) ②，\(y=\dfrac{e^x}{x}\) ③，\(y=x\ln x\) ④，\(y=\dfrac{\ln x}{x}\) ⑤ ，\(y=\dfrac{x}{\ln x}\) ⑥。要对此六个函数非常敏感，有助于我们进一步解决各类问题。如果实在记不住图像，可以快速求导取极限情况画出大致图像。

图像如下。
①\(y=xe^x\)

②\(y=\dfrac{x}{e^x}\)

③\(y=\dfrac{e^x}{x}\)

④\(y=x\ln x\)

⑤\(y=\dfrac{\ln x}{x}\)

⑥\(y=\dfrac{x}{\ln x}\)

在画出这些函数图像的同时我们也可以尝试去找一找这些函数之间的关系。如记①函数为 \(f(x)\) 则可以得到，②函数为 \(-f(-x)\) ，③函数为 \(\dfrac{1}{-f(-x)}\) ，④函数为 \(f(\ln x)\) ，⑤函数为 \(-f(-\ln x)\) ，⑥函数为 \(\dfrac{1}{-f(-\ln x)}\)

二、常见不等式放缩

不等式放缩也是导数问题中相当重要的一个模块，不管是在不等式恒成立求参还是证明不等式恒成立问题中，恰当地使用放缩技巧，可以快速得出答案或者大幅度加快速度，减少运算。

1.切线不等式

（1） \(e^x\geq x+1\) ， \(\ln x \leq x-1\)

（2） \(e^x\geq ex\) ， \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\) ， \(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\)

（3） \(e^x>\dfrac{x^2}{4}\) ， \(e^x>\dfrac{x^3}{27}\) ，对于 \(x>0\) 时成立 （\(e^x>x\)）

（4） \(e^x<-\dfrac{1}{x}\) ， \(e^x<\dfrac{4}{x^2}\) ，对于 \(x<0\) 时成立（\(\ln x<x\) ）

（5） \(\ln x>-\dfrac{1}{x}\) ， \(\ln x>-\dfrac{1}{2x^2}\) ， \(\ln x>-\dfrac{2}{\sqrt x}\) （$\ln x>-\dfrac{1}{x} $）

说明：

可以说切线不等式大部分都由下面这两个最基本的由来，这两个不等式可以根据 \(e^x\) 与 \(\ln x\) 的图像得到

\[e^x\geq x+1 ①\\\ln x\leq x-1② \]

如果我们将上面的 ① 式中的 \(x\) 用 \(x-1\) 替换 则可以得到

\[e^x\geq ex \]

如果将 ② 式中的 \(x\) 用 \(\dfrac{x}{e}\) 替换，则可以得到

\[\ln x\leq \dfrac{x}{e} \]

而将 ② 式中的 \(x\) 替换为 \(\dfrac{1}{x}\) ，则可以得到

\[\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x} \]

上面给出的仅仅是几个较为常见的例子，可见对于 ① 与 ② 两个不等式，将 \(x\) 进行任意替换，都可以生发出新的不等式关系。

我们进一步由 ① 与 ② 得到 两个非常显然的式子

\[e^x>x③\\\ln x <x④，\ln x >-\dfrac{1}{x}⑤ \]

上面我们后三条所提到的不等式均由 ③ ④ ⑤ 三个不等式进行了指对运算生发而来。

2.与三角函数有关的不等式

（1） 当 \(x\geq0\) 时，\(\sin x\leq x\) ， \(\cos x\geq 1-\dfrac{x^2}{2}\) （直接理解：泰勒展开 具体泰勒展开的相关知识可以看这篇文章 传送门）

（2） 当 \(0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}\) 时， \(\cos x\leq 1-\dfrac{x^2}{4}\)

（3） 当 \(0< x <\dfrac{\pi}{2}\) 时，\(\sin x<x<\tan x\) （经典不等式，三角函数线证明）

（4） 当 \(0 < x\leq \dfrac{\pi}{2}\) 时，\(\dfrac{\sin x}{x}\geq\dfrac{2}{\pi}\) （割线不等式）

说明：

对于（4）中的不等式可以尝试画图理解

由上面这个图我们可以直观地看到 \(\sin x \geq\dfrac{2}{\pi}x\) 在 \(x\in(0,\dfrac{\pi}{2}]\) 上成立，当且仅当 \(x=\dfrac{\pi}{2}\) 时等号成立。

3.一些常见的不等式

（1）当 \(x>1\) 时，\(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}<\dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}<\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})\)

（2）当 \(0<x<1\) 时，\(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}>\dfrac{2(x-1)}{x+1}>\ln x>\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}>\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})\)

（3）对数平均值不等式 \(\forall \ \ x_1>x_2>0\) ，\(\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}{2}\)

说明：

（1）中， \(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}<\dfrac{2(x-1)}{x+1}\) 其实就是将不等式右边中的 \(x\) 替换为 \(x^2\) 后整体乘 \(\dfrac{1}{2}\)。

证明： \(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}<\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x})\) 思路：将不等式右边转化为 \((\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x})(\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt x})\)

对数平均值的证明思路：利用 \(\forall \ \ x_1>x_2>0\) 设 \(t=\dfrac{x_1}{x_2}\) ，则 \(t>1\) 于是将不等式全部表示为与 \(t\) 有关的式子从而进行证明。

4.一些不常见的不等式

（1）当 \(x>0\) 时， \(e^x>1+x+\dfrac{1}{2}x^2\)

（2）当 \(0<x<1\) 时，\(\ln {\dfrac{1+x}{1-x}}>2x+\dfrac{2}{3}x^3\) ，当 \(-1<x<0\) 时，\(\ln {\dfrac{1+x}{1-x}}<2x+\dfrac{2}{3}x^3\)

说明：

（1）与（2）均无需多言，泰勒展开证明即可，需要注意的是（2）是三阶泰勒展开

5.伯努利不等式

（1） 当 \(n>1,n\in\mathbb{N}\) 时， \(x>-1\) 时，则有 \((1+x)^n \geq 1+nx\)

（2） 当 \(n>1,n\in\mathbb{N}\) 时，\((1+x)^{\dfrac{1}{n}}\leq 1+\dfrac{1}{n}x\)

（1）与（2）的取等条件均为当且仅当 \(x=0\) 时

说明：

（1）为一个常见且好记的不等式，可以使用数学归纳法或者泰勒展开进行证明。如果将（1）中的 \(x\) 替换为 \(\dfrac{x}{n}\) 则可以得到（2）

三、函数构造

算是一部分很重要的内容，对于有些题目，如果不进行函数构造做起来相当困难。下列函数构造如果没有记住，可以尝试写出几个函数求导。

对于单变量的情况：

（1）对于 \(f'(x)>a\) 的情况，构造函数 \(g(x)=f(x)-ax+b\)

（2）对于 \(xf'(x)+f(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=xf(x)\)

​ 一般地，对于 \(xf'(x)+nf(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=x^nf(x)\)

（3）对于 \(xf'(x)-f(x)>0\) 的情况，构造 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}\)

​ 一般地，对于 \(xf'(x)-nf(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}\)

（4）对于 \(f'(x)-f(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}\)

​ 一般地，对于 \(f'(x)-nf(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{e^{nx}}\)

（5）对于 \(f'(x)+f(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=xe^x\)

​ 一般地，对于 \(f'(x)+nf(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=xe^{nx}\)

（6）对于 \(f'(x)>f(x)\tan x\) 的情况，构造函数 \(g(x)=f(x)\cos x\)

​ 说明：要将原不等式转化为\(f'(x)\cos x-f(x)\sin x >0\) 进而构造函数

（7）对于 \(f'(x)\cos x+f(x)\sin x >0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{\cos x}\)

（8）对于 \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=(\ln f(x))\)

（9）对于 \(f'(x)+\ln af(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=a^xf(x)\)

（10）对于 \(f'(x)\ln x+\dfrac{f(x)}{x}>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=f(x)\ln x\)

（11）对于 \((m+nx)f(x)+xf'(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=x^me^{nx}f(x)\)

（12）对于 \((m-nx)f(x)+xf'(x)>0\) 的情况，构造函数 \(g(x)=\dfrac{x^mf(x)}{e^{nx}}\)

对于出现 \(x_1,x_2\) 这样的双变量情况：

（1）对于 \(g(x_1)-g(x_2)>\lambda[f(x_2)-f(x_1)]\) 的情况，构造函数 \(h(x)=g(x)+\lambda f(x)\)

（2）对于 \(\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>k\) 的情况，构造函数 \(h(x)=f(x)-kx\)

（3）对于 \(\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<\dfrac{k}{x_1x_2}\) 的情况，构造函数 \(h(x)=f(x)+\dfrac{k}{x}\)

四、专题提升

1.恒成立求参

恒成立求参问题常见的解决方法有如下四种：

（1）含参讨论

（2）分离参数

（3）端点效应（必要性探路）

（4）指对同构变形

“解题有法，解无定法。”

（1）含参讨论

所谓含参讨论，其实就是直接讨论，对题目中含有参数的函数直接求导，通过对参数的讨论，获得函数的单调性和极值，进而根据不等式关系求得参数范围。

需要注意的是解决 \(f'(x)=0\) 一类的多项式时，一定要留意可否因式分解，可以大大简化运算。

在处理函数的时候可以利用以下两条原则来优化计算：

​ • 清君侧：当出现 \(f(x)\ln x +C\) 的结构时，考虑将结构变形为 \(\ln x+\dfrac{C}{f(x)}\) 的形式

​ • 有事冲我来：当出现 \(e^x+f(x)\) 的结构时，考虑将结构变形为 \(\dfrac{e^x}{f(x)}+1\) 的形式

（2）分离参数

解决求参问题的强力方法，包括两个角度：全分离和半分离

• 全分离：顾名思义，将参数完全分离出来，使研究的函数从动态变为静态，进而将问题转化为静态函数的最值问题。需要注意的是分离参数时，参数前的系数如果是负的会使不等号方向发生变化；同时，静态函数的最值求解可能会需要洛必达法则辅助

• 半分离：不适合简答题。思路为将不等式变形为 \(ax+b\geq f(x)\) 的形式，根据图像的上下关系得到不等式（往往是一个直线与一个曲线），进而求解参数范围。

（3）端点效应

在求解恒成立问题时，可以进行必要性探路，即利用某些特殊值先解出参数的范围作为必要条件，进而在范围内进行讨论，验证充分性。

端点效应往往可以快速得出答案，但是完整的解题步骤包括 “端点效应+矛盾区间”，重要的是在找矛盾区间进行说理的过程。

落实到卷面上则不应体现有关端点效应的内容，而应当直接对参数的范围进行讨论

例如在求解 \(f(x)\geq 0\) 恒成立问题时，可以先观察出函数的零点（观察不出就不要继续使用端点效应了） 例如 \(f(x)=0\) 那么我们必须保证 \(f'(x)\geq0\) 才能使原式成立，而如果 \(f'(x)=0\) 则需要使 \(f''(x)\geq0\) 才能成立如此一直递归下去，直到出现 \(f^{(n)}(0)\ne0\) 时。若此时解出参数的范围 \(a\ge C\) 那么在卷面上直接讨论 \(a\) 与 \(C\) 的关系即可。

（4）指对同构变形

首先要了解同构变形中常用的操作手法，必须熟练掌握指对相关运算：

① \(xe^x=e^{\ln x+x}\)

② \(\dfrac{e^x}{x}=e^{x-\ln x}\)

③ \(\dfrac{x}{e^x}=e^{\ln x-x}\)

④ \(x+\ln x=\ln (xe^x)\)

⑤ \(x-\ln x=\ln (\dfrac{e^x}{x})\)

其次再来了解指对同构的三种模型

① 积型：

\[ae^a<b\ln b \longrightarrow ae^a<(\ln b)e^{\ln b}\longrightarrow f(x)=xe^x\\ae^a<b\ln b \longrightarrow e^a\ln e^a<b\ln b\longrightarrow f(x)=x\ln x \]

② 商型：

\[\dfrac{e^a}{a}<\dfrac{b}{\ln b}\longrightarrow f(x)=\dfrac{e^x}{x}\\\dfrac{e^a}{a}<\dfrac{b}{\ln b}\longrightarrow f(x)=\dfrac{x}{\ln x} \]

③ 和差型：

\[e^a \pm a>b \pm \ln b \longrightarrow f(x)=e^x \pm x\\e^a \pm a>b \pm \ln b \longrightarrow f(x)=x \pm \ln x \]

然而有的时候这样的同构式并不能直观获得，需要进行变形

① \(ae^{ax}>\ln x \longrightarrow axe^{ax}>x\ln x\longrightarrow f(x)=x\ln x\)

② \(e^x>a\ln (ax-a)-a \longrightarrow e^{x-\ln a}>\ln a+\ln(x-1)-1\longrightarrow e^{x-\ln a}-\ln a+x>\ln(x-1)-+x-1 \longrightarrow f(x)=e^x+x\)

③ \(a^x>\log_a x\longrightarrow e^{x\ln a}>\dfrac{\ln x}{\ln a}\longrightarrow x\ln a \cdot e^{x\ln a}>x\ln x\longrightarrow f(x)=x\ln x\)

2.一元不等式证明

一元不等式证明的困难点在于解题时没有固定的程序，往往要针对不同的题目尝试不同的方法。

常见的方法有：

（1）化为一个函数

（2）分成两个函数

（3）寻找中间函数

（4）虚设极值点估计极值

（1）化为一个函数

从某种意义上来说是通法，对于 \(f(x)>g(x)\) 恒成立的证明，可以直接构造 \(F(x)=f(x)-g(x)\) ，问题转化为证明 \(F(x)>0\) 恒成立，但往往对于 \(F(x)\) 的分析会很复杂

（2）分成两个函数

类似于恒成立求参问题中的参数分离思想。

同样是对于 \(f(x)>g(x)\) 的问题，我们可以加强命题为 \(f(x)_{min}>g(x)_{max}\) 进而推出原不等式恒成立，这个方法也被称为构造凹凸反转。

要想巧妙地构造出凹凸反转，则需要对六小函数的图像以及相关性质掌握到位。

（3）寻找中间函数

实力+运气

顾名思义就是利用不等式放缩，将不等式的一边或两边进行放大或缩小。

对于 \(f(x)>g(x)\) 恒成立的问题，我们找 \(h(x)\) ，使得 \(f(x)>h(x)>g(x)\) 恒成立，进而推出原不等式成立。

需要多做题目培养感觉，初上手很容易出现不等式放过的情况。

其余内容不过多赘述，常见的不等式放缩已在上文不等式处体现。

（4）虚设极值点估计极值

利用的就是设而不求的思想。

解题过程中往往遇到导函数的零点难以求解的问题，不妨直接将极值点（导函数的零点）设出，分析出零点的范围和满足的关系式，通过题目中其他条件将问题转化求解。

3.函数的零点问题

零点问题比较灵活，没有固定的方法，往往考察对函数的综合分析能力。

零点问题主要考察以下几类：

（1）零点个数问题

（2）零点范围问题

（3）隐零点问题

（4）分段函数零点问题

补充：三次函数韦达定理：

考虑方程 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) ，假设其有 \(x_1,x_2,x_3\) 三个零点，则方程一定可写为 \(a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0\) 的形式，于是可得

（1）\(x_1+x_2+x_2=-\dfrac{b}{a}\)

（2）\(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a}\)

（3）\(x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}\)

4.双变量问题

本部分内容主要梳理极值点偏移相关内容

极值点偏移比较容易理解，假设函数 \(f(x)\) 为单峰函数，且极值点为 \(x_0\) 如果对于 \(f(x)=0\) 的两个零点 \(x_1,x_2\) 有 \(x_0 \ne \dfrac{x_1+x_2}{2}\) ，则出现极值点偏移现象。

常见极值点偏移形式有 ：

（1）\(x_1+x_2=C\)

（2）\(x_1x_2=C\)

极值点偏移问题求解的套路有些明显，所以更高难度的题目会将此类形式隐藏，需要一定的代数变形技巧

解决极值点偏移的常见方法：

（1）对称化构造（套函数）

（2）齐次化构造 ： \(a\) 外显 即将 \(a\) 全放在一边

（3）两边取对数，取指数，然后换元构造新函数

（4）加强后再证

解决极值点偏移问题时也常用对数平均值不等式，对于对数平均不等式的证明等相关内容一定要牢牢掌握。

有关导数相关内容姑且整理至此，本文着重对知识点的梳理，掌握导数解题方法还要多加练习，有关题目的整理可以参见导数配套题单。