线性代数入门——第四讲 范德蒙德行列式

线性代数入门——第四讲 范德蒙德行列式

上一讲我们说了行列式的运算,有了性质八以及代数余子式,各种行列式我们都可以通过固定的套路进行求解,这一讲我们只来看一种特殊的行列式——范德蒙德行列式。

首先我们先假设一个四阶的行列式
D=|1111x1x2x3x4x12x22x32x42x13x23x33x43|
观察可知,每一列的 n 个元素构成等比数列,我们称这类行列式为范德蒙德行列式,而在计算这类行列式时,有比较明确的思路可以简便运算过程,更快拿到结果。

首先,将第三行 ×(x1) 加到第四行,行列式的值不变,可得,
D=|1111x1x2x3x4x12x22x32x420x23x22x1x33x32x1x43x42x1|
再将第二行 ×(x1) 加到第三行,可得,
D=|1111x1x2x3x40x22x2x1x32x3x1x42x4x10x23x22x1x33x32x1x43x42x1|
再将第一行 ×(x1) 加到第二行,可得,
D=|11110x2x1x3x1x4x10x22x2x1x32x3x1x42x4x10x23x22x1x33x32x1x43x42x1|
于是根据代数余子式的性质,我们就得到,
D=|x2x1x3x1x4x1x22x2x1x32x3x1x42x4x1x23x22x1x33x32x1x43x42x1|
将每一列的公因式提出来,可得,
D=(x2x1)(x3x1)(x4x1)|111x2x3x4x22x32x42|
重复上述操作,可得,
D=(x2x1)(x3x1)(x4x1)|1110x3x2x4x20x32x3x2x42x4x2|
于是,
D=(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)
我们把最后的结果记为
D=1i<j4(xjxi)

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