线性代数入门——第四讲 范德蒙德行列式

上一讲我们说了行列式的运算，有了性质八以及代数余子式，各种行列式我们都可以通过固定的套路进行求解，这一讲我们只来看一种特殊的行列式——范德蒙德行列式。

首先我们先假设一个四阶的行列式
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\x_1^{2}&x_2^{2}&x_3^{2}&x_4^{2}\\x_1^{3}&x_2^{3}&x_3^{3}&x_4^{3}\end{vmatrix}}
$$
观察可知，每一列的 $n$ 个元素构成等比数列，我们称这类行列式为范德蒙德行列式，而在计算这类行列式时，有比较明确的思路可以简便运算过程，更快拿到结果。

首先，将第三行 $\times (-x_1)$ 加到第四行，行列式的值不变，可得，
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\x_1^{2}&x_2^{2}&x_3^{2}&x_4^{2}\\0&x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
再将第二行 $\times (-x_1)$ 加到第三行，可得，
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4\\0&x_2^{2}-x_2x_1&x_3^{2}-x_3x_1&x_4^{2}-x_4x_1\\0&x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
再将第一行 $\times(-x_1)$ 加到第二行，可得，
$$
D={\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\0&x_2^{2}-x_2x_1&x_3^{2}-x_3x_1&x_4^{2}-x_4x_1\\0&x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
于是根据代数余子式的性质，我们就得到，
$$
D={\begin{vmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1&x_4-x_1\\x_2^{2}-x_2x_1&x_3^{2}-x_3x_1&x_4^{2}-x_4x_1\\x_2^{3}-x_2^{2}x_1&x_3^{3}-x_3^{2}x_1&x_4^{3}-x_4^{2}x_1\end{vmatrix}}
$$
将每一列的公因式提出来，可得，
$$
D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1){\begin{vmatrix}1&1&1\\x_2&x_3&x_4\\x_2^{2}&x_3^{2}&x_4^{2}\end{vmatrix}}
$$
重复上述操作，可得，
$$
D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1){\begin{vmatrix}1&1&1\\0&x_3-x_2&x_4-x_2\\0&x_3^{2}-x_3x_2&x_4^{2}-x_4x_2\end{vmatrix}}
$$
于是，
$$
D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_4-x_3)
$$
我们把最后的结果记为
$$
D=\prod_{1\leq i<j\leq4} (x_j-x_i)
$$