线性代数入门——第二讲 行列式基本性质

上一讲我们了解了线性代数中行列式的基础知识，这一讲继续来学习行列式中的八个基本性质，并给出这些性质严谨的证明，学习行列式基本性质的目的是为了面对高阶行列式通过对性质的灵活运用，巧妙地计算出高阶行列式的值。

本文中所涉及的性质中，均默认原本的行列式为 \(D\)

性质一：设行列式转置后得到 \(D_1\) 则有 \(D_1=D\) ，其中转置指将行列式的行列互换，即对于行列式中的元素 \(a_{ij}\) 转置后得到 \(a_{ji}\) 。

证明：

在 \(D\) 中取一项 \((-1)^{k+l}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n}\) 则此项必定也在 \(D_1\) 中。

举个例子来说明，三阶行列式中一定有\(a_{12}a_{23}a_{31}\) 项。

那么转置后，新的三阶行列式中也一定有 \(a_{12}a_{23}a_{31}\) 项，只不过转置后， \(a_{12}a_{23}a_{31}\) 所表示的值可能会发生变化，但是对于任意一项 \((-1)^{k+l}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n}\) 都有一项 \((-1)^{l+k}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n}\) 对应。

所以求和后值不变，故有 \(D=D_1\)

性质二： \(D\) 中互换任意两行得 \(D_1\) ，则有 \(D=-D_1\)

证明：

\(D\) 中取一项 \((-1)^t a_{1 j_1}a_{2 j_2}...a_{p j_p}...a_{q j_q}...a_{n j_n}\) 则此项也在 \(D_1\) 中。并且因为交换了第 \(p\) 行和第 \(q\) 行。

所以相当于 \(j_1,j_2,...,j_n\) 这个序列交换了两个数，所以此序列的逆序数 \(\pm1\) ，所以 \(t\) 的奇偶性发生了变化

所以发现每一项都变为原来的相反数，故 有\(D=-D_1\)

性质三：若一个行列式中有两列相同则 \(D=0\)

证明：

先由性质一，一个行列式两列相同等价于两行相同，所以我们将命题转化为若一个行列式中有两行相同则 \(D=0\) 。

再由性质二，交换这两个相同的行，显然行列式的值并不会改变，但是根据性质二，我们可以得出 \(D=-D\)

所以得出 \(D=0\)

性质四：若 \(D\) 中有一行变为原来的 \(k\) 倍，得到新行列式 \(D_1\)，则有 \(D_1=kD\)

证明：

结合上一讲的知识我们知道，行列式中每一项都是从每一行每一列中选出一个元素并将这些元素相乘，即一行中或一列中的元素，一定分布在行列式展开式的每一项中。

而其中一行的元素又变为了原来的 \(k\) 倍，所以行列式中每一项都变为了原来的 \(k\) 倍

所以有 \(D_1=kD\)

性质五：行列式若有一行是 \(0\) 则 \(D=0\)

请注意这是行列式计算中的中心性质，因为这条性质给了我们在计算行列式时的目标，即尽可能多的将行列式中的元素变为 \(0\)

证明： 比较显然，证明略。

性质六：若行列式中有两行成比例，则 \(D=0\)

证明：

两行成比例的行列式不妨转化为，有一个两行相等的行列式，其中的某一行变为了原来的 \(k\) 倍，发现根据性质三和性质四，我们就轻松的拿到这个结论

性质七：若 \(D\) 中第 \(i\) 行可以写成两项之和 \(a_{ij}=b_j+c_j,\ \ \ j=1,2,3,...\) 则 \(D=D_1+D_2\)

简化命题即要证：

\[{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\b_1+c_1&b_2+c_2&...&b_n+c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\b_1&b_2&...&b_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\c_1&c_2&...&c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}} \]

证明：

将 \(D\) 中一项 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...a_{i j_i}...a_{n j_n}\) 替换为 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...(b_i+c_i)...a_{n j_n}\)

而等式右边必有 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...b_i...a_{n j_n}+a_{1 j_1}a_{2 j_2}...c_i...a_{n j_n}\)

将无关项提出来即可得 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...(b_i+c_i)...a_{n j_n} = (b_i+c_i) a_{1 j_1}a_{2 j_2}...a_{n j_n}\)

进而对两边求和即可得到这个结论，简化为 \(D=D_1+D_2\)

性质八：

\[若 D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\b_1&b_2&...&b_n\\c_1&c_2&...&c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}，D_1={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\kc_1+b_1&kc_2+b_2&...&kc_n+b_n\\c_1&c_2&...&c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}} ，则有 D_1=D \]

证明：

实际上就是结合了性质六和性质七，我们可以观察 \(D_1\) 发现第三行，可以将每一项拆成 \(kc_i+b_i\) ，于是结合性质七，就变成了两个行列式相加，结合性质六可知，\(kc_i\) 的行列式值为 \(0\) ，而 \(b_i\) 的行列式等于 \(D\) 所以有 \(D_1=D+0\) ，所以该结论成立。

总结来说，如果理解了行列式中前几条性质，后面的几条性质与前面的联系密切，可以自己推出。