线性代数入门——第一讲 线性代数初步

一、行列式

1.行列式的定义

​ 行列式貌似是一种运算？与矩阵不同的是，行列式要求行和列的数量必须相同，直接看一个例子来理解好了。

比如下面给出的这个就是二阶行列式

​ \({\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

​ 又比如下面这个给出的是三阶行列式

​ \({\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)

​ 需要注意的是在书写行列式的时候，对于三阶以内的行列式可以使用对角线法，而对于三阶以上的行列式则需要我们在理解了行列式的书写规律以后才能进一步写出。

2.排列

​ 明确行列式的书写规律，就需要有关排列的相关知识。一些基本的知识例如，对于 \(n\) 个数的全排列其方法数是 \(n!\) 。同时还需明确：

​ （1）逆序数：对于一个数列 \(\{a_n\}\) ，我们定义当 \(i<j\) 并且 \(a_i>a_j\) 的时候成 \((a_i,a_j)\) 为一个逆序对，而一个排列中所有逆序对的个数被称为逆序数。

​ （2）偶排列：一个排列的逆序数为偶数

​ （3）奇排列：一个排列的逆序数为奇数

​ 明确了上述概念以后于是就有了行列式中的定理一：一个排列中任意两个数交换位置，排列的奇偶性发生改变。下面给出证明方法：

​ 首先我们知道，任意交换相邻的两个数 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) ，排列的奇偶性一定发生改变。理由是这一次相邻的交换只 对 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 之间的逆序数产生影响，并不影响 \(a_i\) 以前的逆序数以及 \(a_{i+1}\) 以后的逆序数。

​ 于是我们可以将交换 \(a_i\) 与 \(a_j\) 的操作转化为许多次交换相邻元素的操作，具体实现如下。

​ 将 $$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_i,a_1,a_2,a_3,...,a_s,a_j \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$

​ 变化为 $$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_1,a_2,a_3,...,a_s,a_i,a_j \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$ 需要交换 \(s\) 次

​ 再变化为 $$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_j,a_1,a_2,a_3,...,a_s,a_i \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$ 需要交换 \(s+1\) 次

​ 所以我们一共进行了 \(2s+1\) 次交换，而每次变化一定会使逆序数 \(+1\) 或 \(-1\) 所以进行了奇数词变化逆序数的奇 偶性一定会发生变化。

​ 进而我们可以发现行列式展开中行的下标为自然序数，列的下标排列的逆序数若为奇数，则其前面的系数为负。反之，则其前面的系数为正。

​ 而我们发现行列式的展开或者说行列式这种运算其实就是对行列式中的各项加个正负号求和起来，所以我们可以尝试写出通项公式：

​ $$D=\sum_{j_1,j_2,...,j_n} (-1)^{t}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$$
其中， \(t\) 为 \(j_1,j_2,...,j_n\) 排列的逆序数

​ 但这个时候我们还要思考，我们真正在写的时候能否行的下标也不按顺序来写呢，换句话说有没有更通项的公式。那显然是有的，我们注意到如果对于 \(i_1,i_2,...,i_n\) 与 \(j_1,j_2,...,j_n\) 两个排列，分别表示行列式求和中的某一项的行的下标和列的下标的排列，则有 $$D=\sum_{(i_1,i_2,..,i_n)(j_1,j_2,...,j_n)}(-1)^{k+l}a_{i_1 j_1}a_{i_2 j_2}...a_{i_n j_n}$$
其中， \(k\) 为 \(i_1,i_2,..,i_n\) 排列的逆序数，\(l\) 为 \(j_1,j_2,...,j_n\) 的逆序数。

​ 如何证明这个通项是正确的？我们可以考虑将无序的行下标转化为自然序数，则我们在每次交换一个 \(a_{i_n j_n}\) 与一个 \(a_{i_m j_m}\) 项时，\(i_n\) 与 \(i_m\) 会发生 \(2s+1\) 次交换，而 \(j_n\) 与 \(j_m\) 也会发生 \(2s+1\) 次交换，所以可以证明这样交换一项后逆序数的奇偶性不会发生改变，所以上述两个式子是成立的。