摘要： 树状数组 一、简介 树状数组是一种支持 单点修改 和 区间查询 的，代码量小的数据结构。 普通树状数组维护的信息及运算要满足 结合律 且 可差分，如加法（和）、乘法（积）、异或等。 事实上，树状数组能解决的问题是线段树能解决的问题的子集：树状数组能做的，线段树一定能做；线段树能做的，树状数组不一定可 阅读全文

摘要： ST表 一、简介 ST 表基于 倍增思想，可以做到 \(O(n\log n)\) 预处理， \(O(1)\) 回答每个询问。但是不支持修改操作。 基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值。可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 \(2^i\) 步的话，询问时的复杂度仍旧是 \(O(\log n)\ 阅读全文

摘要： 堆 一、简介 1.结构 从二叉堆的结构说起，它是一棵二叉树，并且是完全二叉树，每个结点中存有一个元素（或者说，有个权值）。 堆性质：父亲的权值不小于儿子的权值（大根堆）。同样的，我们可以定义小根堆。 2.过程 （1）插入 插入操作是指向二叉堆中插入一个元素，要保证插入后也是一棵完全二叉树。 最简单的 阅读全文

摘要： 并查集 一、简介 并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。 顾名思义，并查集支持两种操作： 合并（Union）：合并两个元素所属集合（合并对应的树） 查询（Find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于 阅读全文

摘要： 吉米多维奇杂题选解——数列极限 一、用定义证明数列极限等式 T1. 求证： \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^\alpha}{c^n}=0,(a>0,c>1)\) 证明： 令 \(k=\left\lfloor\alpha\right\rfloor+1\) ，则 \ 阅读全文

摘要： 哈希和哈希表 哈希算法是通过一个哈希函数 \(\operatorname H\) ，将一种数据（包括字符串、较大的数等）转化为能够用变量表示或是直接就可作为数组下标的数，通过哈希函数转化得到的数值我们称之为哈希值。通过哈希值可以实现快速查找和匹配。哈希算法具体应用有：字符串 \(\operatorn 阅读全文

摘要： 数分学习笔记（二） 书接上回。我们已经了解熟悉了数列极限的相关知识。本篇我们从函数极限开始。 Chapter 4 函数的极限 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 对于定义在实数集上的函数 \(f(x)\) ，自变量 \(x\) 趋于无穷大有三种形式 ① \(x\to+\infty\) ，即沿 \(x\ 阅读全文

摘要： 数分学习笔记（一） 最近入门了数学分析，特此记录一下学习到的重点。 Chapter 1 实数与实数集 这部分内容高中已经接触过很多了，仅补充一些未曾了解过的。 1.完备性 实数集不仅对加减乘除开方运算封闭，并且对于极限运算也封闭，这个性质被称为“完备性”。 实数中的集合通常称为数集。 数学分析中还有 阅读全文

摘要： 二分与三分 二分是一种常用且非常精妙的算法。（英才计划甚至还水了一篇文章）三分法则可以用来解决单峰函数的极值以及相关问题 一、二分 二分法，在一个单调有序的集合或函数中查找一个解，每次均分为左右两部分，判断解在哪一个部分后调整上下界。每次二分都会舍弃一半区间，因此效率比较高。 假设我们有一个非降序数 阅读全文

摘要： 贪心算法 信息学竞赛试题中，经常出现求一个问题的可行解或最优解的题目。这类问题就是我们所说的最优化问题。而贪心算法是求解这类问题的常用算法。最近重回OI，回归基础，有很多新的收获新的思考。 一、贪心算法 贪心算法是从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择的而得到的最优值。也就是说，每一次选择都是当 阅读全文