NOIP2024 游记

比赛历程

保持以往的策略，先将每一道题都想一遍。T1 想了一个贪心，简单地证明感受了一下正确性。接着 T2 想了一个 计数DP ，感觉上它是对的。然后 T3 还是计数，一样简单地推了一个 DP 然后去看 T4。这时莫名的感觉时间有点紧，于是没有想多，想了一个可以拿到不错的分数的暴力就开始打代码。

T1 打完然后还调了将近 40mins，还不算超出计划之外。然后写 T2 ，写完发现大样例过不去，然后开始调，发现自己的 DP 是假的，于是又想了将近一个小时，但是没有成果。发现时间不对，于是开始写 T3，写完发现还是假的，由于前面耗费的时间太多了，也没有想着去找问题，把链的分打完就去写 T4。 T4 用尽可能快的速度写完，样例也能过。不敢耽搁，马上回去想 T2 。找问题找到最后 40+mins才找到问题，同时也想到了做法，于是马上开始打，幸好在最后 3mins 的时候过了所有大样例。

预计得分为 100+100+4+32=236

反思

本次比赛最差的地方在于 T2 的做法假掉了，严重消耗时间，影响心态。T3 的部分分已经想出结论了，但是因为在想题时没有注意计算的是生成树的个数，所以才挂了 $k=1$ 的档。如果打完 T2 没有那么紧张，也许就会留点时间下来查错，多拿一点分。

对自己不能盲目自信，想到一个做法应该去多想一想它的正确性。要锻炼自己判断做法正确性的能力，就像 T2 如果要手模 $n=3$ 是比较困难的，但是可以通过构造发现自己的错误。

在想题时不能忘了题面，就像 T3 ，如果没有忘掉题目计的是生成树的个数，就可以多拿点分，减少心态损耗。

改题

T3

$k=1$ 是简单的，设所有点的度数 $d_i$ ，答案为 $\prod (d_i-1)!$ 。

考虑对于一棵生成树，以那些边为关键边可以生成出来。不难发现这些边构成一条从叶子到叶子的路径。于是我们对于每一个这样的路径去求方案数。只有当一条从叶子到叶子的路径上有关键边时，才会有 $\prod _{i=1}^n(d_i-1)!\ast \prod _{i\in S}(d_i-1{)}^{-1}$ 的贡献。所以我们以一个不为叶子节点的点为根，然后 DP就好了。

T4

先进行一个转换 $lc{a}_{a_l,a_{l+1}...a_{r-1},a_r}=mi{n}_{i=l}^{r-1}lc{a}_{i,i+1}$ ，证明：对于它们的 $lca$ ，至少有两棵子树中存在区间中的一些点。

于是我们设 $a_i=lc{a}_{i,i+1}$ ，然后对于每一个 $i\in [1,n-1]$ ，求出最长的、以 $a_i$ 为公共祖先的区间 $[l_i,r_i]$ 。通过上面的转化，实际上就是求一个点左右两边第一个大于它的点。接下来就是对答案的计算，分类讨论交集关系，不难发现共有两种情况：相交与询问的区间被包含。对于相交的情况，我们就是要对于询问 $j$ ，求满足 $r_i-l_i+2\ge K_j\wedge L_j+K_j-1\le r_i\le R_j$ 的所有 $i$ 的 $max(a_i)$ 。这里只算了所以没有包含询问区间右端点的 $i$ 的贡献，计算没有包含左端点的同理。然后是左右端点都被包含，这种情况显然合法，于是对于所有的区间右端点排序，扫一遍，用线段树统计答案即可。