快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

这个东西是用来求 二进制位运算 的卷积的，$or$卷积、$and$卷积、$xor$卷积。

引入

我们要求的是：

$$C[i]=\sum _{i=j\oplus k}A[j]\ast B[k]$$

考虑像 FFT 一样，先将一个式子计算出它的正变换后的式子，再相乘，最后做一次逆变换。于是我们先定义一个式子：

$$fw{t}_A[i]=\sum _{j=0}^{n}c(i,j)\ast A[j]$$

其中，$fw{t}_A$ 表示 $A$ 经过 $FWT$ 变换后的数组，$c(i,j)$ 表示一个贡献函数，现在还没有求出来。

然后，我们需要它满足（后面那个是按位乘）：

$$C=A\ast B\iff fe{t}_C=fw{t}_A\times fw{t}_B$$

接着，我们继续推：

$$\begin{array}{rl}fe{t}_C[i]& =\sum _{i=0}^{n}fw{t}_A[i]\ast fw{t}_B[i]\\ \sum _{i=0}^{n}c(i,j)\ast C[j]& =\sum _{i=0}^n(\sum _{j=0}^{n}c(i,j)\ast A[j])(su{m}_{k=0}^{n}c(i,k)\ast B[k])\\ \sum _{i=0}^{n}c(i,p)\ast \sum _{p=j\oplus k}A[j]\ast B[k]& =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{n}c(i,j)\ast c(i,k)\ast A[j]\ast B[k]\\ \sum _{i=0}^n\sum _{p=j\oplus k}c(i,j\oplus k)\ast A[j]\ast B[k]& =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{n}c(i,j)\ast c(i,k)\ast A[j]\ast B[k]\end{array}$$

于是我们可以得到 $c(i,j)\ast c(i,k)=c(i,j\oplus k)$ ，又因为它是位运算，所以我们可以把它按位拆开来处理。并且对于一个数，我们将它 每一位拆开后的数 的贡献系数乘起来的结果作为它的贡献系数。

接下来我们继续考虑求这个式子;

$$fw{t}_A[i]=\sum _{j=0}^{n}c(i,j)\ast A[j]$$

考虑像 FFT 一样拆成两半，设 $A_0$ 表示序列 $A$ 中，下标二进制最高位的值为 0；$A_1$ 同理。那么我们可以得到这样的式子：

$$fw{t}_A[i]=\sum _{j=0}^{n/2}c(i,j)\ast A[j]+\sum _{j=n/2+1}^{n}c(i,j)\ast A[j]$$

然后我们对首位拆开来考虑，设 $i^{\prime }$ 表示 $i$ 去掉首位后的值：

$$=c(i^0,0)\ast \sum _{j=0}^{n/2}c(i^{\prime },j^{\prime })\ast A[j]+c(i^0,1)\ast \sum _{j=n/2+1}^{n}c(i^{\prime },j^{\prime })\ast A[j]$$

接着分类讨论 $i$ 的首位取 0 还是 1。

$$\begin{gathered} fw{t}_A[i]=c(0,0)\ast fw{t}_{A_0}[i]+c(0,1)\ast fw{t}_{A_1}[i] \\ fw{t}_A[i+n/2]=c(1,0)\ast fw{t}_{A_0}[i]+c(1,1)\ast fw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

最终我们得到了这样的式子，与 FFT 类似，我们可以分治。对于求出 $c([0,1],[0,1])$ ，我们可以使用矩阵，或者再去推式子。把这些写出来的原因是，我们可以使用矩阵求逆，求出逆变换时的系数来做逆变换，自己并不是很能理解用其他方法来计算逆运算时的系数。

OR卷积

对于 $or$卷积，我们要求的就是：

$$fw{t}_C[i]=\sum _{j|i=i}C[j]$$

而：

$$\begin{array}{rl}fw{t}_A[i]\ast fw{t}_B[i]& =(\sum _{j|i=i}A[j])\ast (\sum _{k|i=i}B[k])\\ & =\sum _{(j|k)|i=i}A[j]\ast B[k]\\ & =\sum _{(j|k)|i=i}C[j|k]\\ & =fw{t}_C[i]\end{array}$$

接着我们考虑前面那个分治的式子：

$$\begin{gathered} fw{t}_A[i]=c(0,0)\ast fw{t}_{A_0}[i]+c(0,1)\ast fw{t}_{A_1}[i] \\ fw{t}_A[i+n/2]=c(1,0)\ast fw{t}_{A_0}[i]+c(1,1)\ast fw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

此时我们容易发现，对于 $fw{t}_{A_1}[i]$ ，它无法通过 or 运算得到 $i-n/2$ ，所以 $c(0,1)$ 应该为 0；而其他的都可以转移到，都为 1。

然后我们再通过求矩阵的逆 ，可以得到矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$ 的逆为：$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ 。

所以 $or$卷积 的正变换式子为：

$$\begin{gathered} fw{t}_A[i]=fw{t}_{A_0}[i] \\ fw{t}_A[i+n/2]=fw{t}_{A_0}[i]+fw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

逆变换式子为：

$$\begin{gathered} Ifw{t}_A[i]=Ifw{t}_{A_0}[i] \\ Ifw{t}_A[i+n/2]=Ifw{t}_{A_1}[i]-Ifw{t}_{A_0}[i] \end{gathered}$$

最终我们把系数代入，分治求答案就好了。

AND卷积

与 $or$卷积 类似，定义式子 $fw{t}_A[i]=\sum _{j\mathrm{\&}i=i}A[j]$ ，我们容易得到 $fw{t}_A[i]\ast fw{t}_B[i]=fw{t}_C[i]$ 。然后考虑贡献系数：

$$\begin{gathered} fw{t}_A[i]=c(0,0)\ast fw{t}_{A_0}[i]+c(0,1)\ast fw{t}_{A_1}[i] \\ fw{t}_A[i+n/2]=c(1,0)\ast fw{t}_{A_0}[i]+c(1,1)\ast fw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

此时 $i$ 不可能通过 and运算 得到 $i+n/2$ ，所以此时的 $c(1,0)$ 应为 0，其余为 1 。所以我们得到矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ ，对其求逆可得 $\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 。于是我们得到了正变换的式子：

$$\begin{gathered} fw{t}_A[i]=fw{t}_{A_0}[i]+fw{t}_{A_1}[i] \\ fw{t}_A[i+n/2]=fw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

逆变换的式子：

$$\begin{gathered} Ifw{t}_A[i]=Ifw{t}_{A_0}[i]-Ifw{t}_{A_1}[i] \\ Ifw{t}_A[i+n/2]=Ifw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

XOR卷积

这部分使用 $\oplus$ 表示 按位异或 运算。

我们根据 $c(i,j)\ast c(i,k)=c(i,j\oplus k)$ 来推导贡献系数。

根据 $c(0,0)\ast c(0,x)=c(0,x\oplus 0)=c(0,x)$ ，我们可以得到 $c(0,0)=1$ ；

由于 $c(1,1)\ast c(1,1)=c(1,0)$ ，此时如果填 0，那么矩阵没有逆，所以这两个数都非 0；

又因为 $c(1,0)\ast c(1,0)=c(1,0)$ ，所以此时的 $c(1,0)=\pm 1$ ，而如果 $c(1,0)=-1$ ，则 $c(1,1)$ 无实数解，所以我们令 $c(1,0)=1$ ，而 $c(1,1)=\pm 1$ 。

由于 $c(0,1)\ast c(0,1)=c(0,0)$ ，所以 $c(0,1)=\pm 1$ 。

而当 $c(0,1)=c(1,1)$ 时，矩阵没有逆。所以两个取异号。我们这里使用 $c(0,1)=1,c(1,1)=-1$ 。

然后我们就能够构造出转移系数的矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$ 了，对其求逆得到 $\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.5& -0.5\end{array}\right]$ 。

正变换式子：

$$\begin{gathered} fw{t}_A[i]=fw{t}_{A_0}[i]+fw{t}_{A_1}[i] \\ fw{t}_A[i+n/2]=fw{t}_{A_0}[i]-fw{t}_{A_1}[i] \end{gathered}$$

逆变换式子：

$$\begin{gathered} Ifw{t}_A[i]=\frac{Ifw{t}_{A_0}[i]+Ifw{t}_{A_1}[i]}{2} \\ Ifw{t}_A[i+n/2]=\frac{Ifw{t}_{A_0}[i]-Ifw{t}_{A_1}[i]}{2} \end{gathered}$$

最终，我们得出了以上三种卷积的 $O(n\log n)$ 的计算方法。

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+5,M=998244353,NY=499122177;
long long a[N],b[N],c[N],ansa[N],ansb[N],ansc[N];
int n;
void OR(int flag)
{
	int i,j,len,p;
	for(len=2,p=1;len<=n;len=len<<1,p=p<<1)
	{
		for(i=0;i<n;i+=len)
		{
			for(j=0;j<p;j++)
			c[i+j+p]=(c[i+j+p]+c[i+j]*flag+M)%M;
		}
	}
}
void get_OR()
{
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
	c[i]=a[i];
	OR(1);
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		ansa[i]=c[i];c[i]=b[i];
	}
	OR(1);
	for(i=0;i<n;i++)
	c[i]=ansa[i]*c[i]%M;
	OR(-1);
	for(i=0;i<n;i++)
	ansa[i]=c[i];
}
 
void AND(int flag)
{
	int i,j,len,p;
	for(len=2,p=1;len<=n;len=len<<1,p=p<<1)
	{
		for(i=0;i<n;i+=len)
		{
			for(j=0;j<p;j++)
			c[i+j]=(c[i+j+p]*flag+c[i+j]+M)%M;
		}
	}
}
void get_AND()
{
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
	c[i]=a[i];
	AND(1);
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		ansb[i]=c[i];c[i]=b[i];
	}
	AND(1);
	for(i=0;i<n;i++)
	c[i]=ansb[i]*c[i]%M;
	AND(-1);
	for(i=0;i<n;i++)
	ansb[i]=c[i];
}
 
void XOR(long long x)
{
	int i,j,len,p;long long t;
	for(len=2,p=1;len<=n;len=len<<1,p=p<<1)
	{
		for(i=0;i<n;i+=len)
		{
			for(j=0;j<p;j++)
			{
				t=c[i+j+p];
				c[i+j+p]=(c[i+j]-t+M)*x%M;
				c[i+j]=(c[i+j]+t)*x%M;
			}
		}
	}
}
void get_XOR()
{
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
	c[i]=a[i];
	XOR(1);
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		ansc[i]=c[i];c[i]=b[i];
	}
	XOR(1);
	for(i=0;i<n;i++)
	c[i]=ansc[i]*c[i]%M;
	XOR(NY);
	for(i=0;i<n;i++)
	ansc[i]=c[i];
}
int main()
{
	int i;
	scanf("%d",&n);
	n=(1<<n);
	for(i=0;i<n;i++)
	scanf("%lld",&a[i]);
	for(i=0;i<n;i++)
	scanf("%lld",&b[i]);
	get_OR();
	get_AND();
	get_XOR();
	for(i=0;i<n;i++)
	printf("%lld ",ansa[i]);
	printf("\n");
	for(i=0;i<n;i++)
	printf("%lld ",ansb[i]);
	printf("\n");
	for(i=0;i<n;i++)
	printf("%lld ",ansc[i]);
	return 0;
}