拉格朗日插值 学习笔记

合集 - 学习笔记(8)

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7.拉格朗日插值 学习笔记2024-08-12

8.快速傅里叶变换(FFT) 学习笔记2024-08-19

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我们知道，对于一个 $k$ 次多项式，我们只需知道它在 $k+1$ 个点上的取值，就能求出这个多项式。我们可以列方程求出每一个的系数，但是这样的时间复杂度是 $n^3$ 的，所以我们使用一些别的方法来求出对于某个点的值。

拉格朗日插值：

设已知平面内的 $n$ 个点，要求这 $n$ 个点的 $n-1$ 次的函数。我们将每个点 $i$ 在 $x$轴 上的投影设为 $i^{\prime }$ ，我们将每个点 $i$ 与其余点的投影设一个函数 $f_i(x)=a\ast \prod _{j=1,j!=i}^n(x-x_j)$ ，其中 $a$ 是常数，使用交点式来表达一个函数。将点 $(x_i,y_i)$ 代入后，可以求出 $a=\frac{y_i}{\prod _{j=1,j!=i}^n(x_i-x_j)}$ ，于是函数 $f_i(x)$ 的表达式为：

$$f_i(x)=y_i\ast \prod _{j=1,j!=i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

然后最终这 $n$ 个点的函数 $f(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i(x)$ ，即：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\ast \prod _{j=1,j!=i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

这个就是拉格朗日插值的式子了，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

我们可以使用多项式将其优化至 $O(nlo{g}^{2}n)$ 。

横坐标连续的拉格朗日插值：

在一些题目中，如果给定的点有上面的这种性质 或 题目并没有限制点的横坐标的话，那么我们可以将时间复杂度优化至 $O(n)$ 。

我们假设这些点的横坐标为 $1...n$ ，然后原来的式子就可以化成：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\ast \prod _{j=1,j!=i}^n\frac{x-j}{i-j}$$

将分子分母分开来处理 $\prod$ ：

$$\prod _{j=1,j!=i}^{n}x-j=\frac{\prod _{j=1}^n(x-j)}{x-i}$$

这里可以预处理上面的积，然后除掉 $(x-i)$ 或 处理出以 $i$ 为分界点的 $(x-j)$ 的前后缀的积。

分母：

$$\prod _{j=1,j!=i}^{n}i-j=(i-1)!\ast (-1{)}^{n-i}\ast (n-i)!$$

然后总的式子就变成了：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\ast \prod _{j=1,j!=i}^n\frac{x-j}{i-j}=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{n-i}\ast y_i\ast \frac{\prod _{j=1}^n(x-j)}{(x-i)\ast (i-1)!\ast (n-i)!}$$

预处理阶乘的倒数就好了。