闵可夫斯基和 学习笔记
闵可夫斯基和
定义两个凸包 \(A,B\) 的闵可夫斯基和 \(C=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}\) 。就是从原点向其中一个凸包连出的向量，平移到另一个凸包上的每一个点，最后构成的图形即为两个凸包的闵可夫斯基和。其中的第一个图形可以看做被缩到了原点，\(C\) 中右下角（这里是指先是 \(y\) 坐标最小，再是 \(x\) 坐标最小的点）的点是 \(A,B\) 中两个右下角的点的坐标之和。
求法
对于两个凸包的情况，我们可以手模发现，最终形成的凸包 \(C\) 的每一条边都是凸包 \(A,B\) 中的一条边，可以用平行四边形来证明。由于在凸包上的每一条边，从最下面的那一条边开始，按照逆时针顺序，它们的极角是递增的。所以我们可以将 \(A,B\) 上的边依次比较极角，然后加入 \(C\) 中，从起始点开始每次加上那个边表示的向量。
对于多个凸包的情况，我们可以将所有的边放到一起进行排序，最后一起处理。
求凸包
（由于自己总是求不对凸包，这里写一下）
通常是先求出右下角的点，然后按照以该点为原点的其他点的极角序加入凸包。这里如果使用 \(atna2(y,x)\) 的话，要注意精度问题；另一种判断方法是用叉积：若 \(\vec{AB}\times\vec{AC}<0\) ，则 \(\vec{AC}\) 在 \(\vec{AB}\) 的顺时针方向（\(\vec{AB}\) 所在的直线的右边，视角为向量的方向）；若 \(>0\) ，则在逆时针方向；若 \(=0\) ，则两个向量共线。这里要注意的是由于极角是到 \(x\) 轴的正半轴，所以要先比较两个向量是否同在 \(x\) 轴的上方或下方，然后再判断；如果两个向量方向相同，则要先加入距离右下角的点最远的的，因为一般情况下我们会将凸包上所有三点共线的点删掉，所以要这样做来防止删掉了我们要求的凸包上的点。
（防止自己记不住，再写一遍：\(\vec{A}\times\vec{B}=A.x*B.y-A.y*B.x\)）
由于在凸包上的连续三个点 \(P_1,P_2,P_3\) 按照逆时针排序的话，它们是满足 \(\vec{P_1P_2}\times\vec{P_2P_3}\ge0\) 的，由于我们不要三点共线上的点，所以一般将 \(=\) 去掉。构建时维护一个栈，每次判断栈顶的下一位、栈顶和要加入的点是否满足条件，不满足就弹栈。
练习题
P8101 [USACO22JAN] Multiple Choice Test P
模板题（确信）。
题意：给定 \(N\) 组向量，每组向量有 \(G_i\) 个，每次你需要选择每一组中的一个向量，问最终这些向量的和到原点的距离的最大值。
解法：先将一组向量画出来，发现可能成为的点都在凸包上。然后考虑如何合并两组的答案，发现两组的答案其实是将其中一组的向量全部平移到另一组向量上，然后再求一次凸包上的点。这就和闵可夫斯基和一样，于是我们处理出每一组向量的凸包，然后求所有凸包的闵可夫斯基和就行了。
题意：给定两组点，有 \(Q\) 次询问，每次问你将第二组点都加上一个向量 \((x_i,y_i)\) 后，平面内是否存在一个点，满足它既被第一组的点中任意三点构成的三角形覆盖，又被第二组的点中的任意三点构成的三角形覆盖。
解法：首先先求出两组点构成的凸包，接着问题就变成了求两个凸包是否有交集，这种问题我们使用闵可夫斯基和来求解。题目问的是是否存在一个在凸包 \(B\) 中的点 \(b\) 平移 \(w\) 后与凸包 \(A\) 中的点 \(a\) 相同，即 \(b+w=a\) ，移项得到 \(w=a-b\) 。于是我们将 \(B\) 中的每个点取反就得到了 \(-b\) ，然后求闵可夫斯基和就好了。
最后是判断一个点是否在凸包内，这里使用二分。将最后求得的凸包 \(C\) 的右下角的点平移到原点上，然后从原点向询问的点连一条边，找到凸包上的一条边，满足原点连向它的两个端点的向量的极角，包含了询问的点的极角。之后用叉积判断即可。
