Pollard-Rho学习笔记

Pollard-Rho 还是很容易理解的，其作用就是找一个数 $n$ 的一个非平凡约数。(非平凡约数即不是 $1$ 也不是它本身的约数)。
复杂度大致是 $n^{\frac{1}{4}}\log n$。

首先引入生日悖论：一年 $365$ 天，当一个房间中的人数至少为 $23$ 人时，两个人的生日日期相同的概率大于等于 $50\mathrm{\%}$。
这个就让我们明白了在值域为 $N$ 时，随机 $O(\sqrt{N})$ 次就会出现一对相同的数。

于是我们设计一个伪随机数 $f(x)=x^2+c(\mathrm{mod}n)$，$c$ 为随机的一个数。

为什么要这样做呢？我们设 $n$ 最小的非平凡约数时 $p$，首先能发现一个很好的性质，若我们得到这个序列： $x_1,x_2=f(x_1),x_3=f(x_2),....$，最终会形成一个循环节，也就像 $\rho$ 一样。而且还满足：若 $x\equiv y(\mathrm{mod}p)$，$f(x)\equiv f(y)(\mathrm{mod}p)$。由上文的生日悖论，可以得到出现 $x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}p)$ 的期望复杂度是 $O(\sqrt{p})$ 的，但我们并不知道 $p$ 为多少，我们只知道当 $x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}p)$ 时，$gcd(|x_i-x_j|,n)$ 不为 $1$，而这也就是我们对重复了的情况的判断标准。（记住是不为 $1$，所以找到的约数可能是 $n$。）

然后我们相当于就是需要在较快的时间内判断环是否出现。

这里简单介绍一下 floyd 判环，因为这是主要思想，其他做法也只是这个做法的优化。我们把 $x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}p)$ 当成两个人在环上跑，其中一个人超了另一个人一圈。所以我们使用两个指针，一个每次跳一步，另一个每次跳两步，然后每次做差判断是出现环。

至于优化，这里讲倍增优化，我们第 $k$ 轮让后面那个指针跳 $2^k$ 步，前面指针不动，如果出现 $gcd$ 不为 $1$ 的情况，就说明出现了环。

我们考虑到如果每次都要判 $gcd$ 就要带一个 $\log$，也就是 $O(\sqrt{p}\log n)$，而我们知道若 $gcd(|x_i-x_j|,n)$ 不为 $1$，那 $gcd(\mathrm{\Pi }|x_i-x_j|modn,n)$ 也不为 $1$，所以我们考虑计算乘积与 $n$ 的 $gcd$，我们考虑每 $k$ 次就算一次 $gcd$，那复杂度就变成了 $O(\frac{\sqrt{p}\log n}{k}+\sqrt{p})$，这里 $k$ 是一个常数，自己定义即可。

分解质因数还需要 Miller-Rabin 的辅助，Miller-Rabin 相对简单，故不再赘述。

分解质因数代码：

点击查看代码

#define ll __int128
#define int long long
struct Miller_Rabin{
    int pri[13]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37},cnt=12;  
    inline bool chk(ll n,ll p){
        if(n%p==0) return false;
        ll num=n-1,t=0;
        while(num%2==0) num/=2,t++;
        ll v=qpow(p,num,n),s=0;
        if(v==1) return true;
        for(;s<t;s++){
            if(v==n-1) return true;
            v=v*v%n;
        }
        if(s==t) return false;
        return true;
    }
    inline bool is_pri(int n){
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            if(pri[i]==n) return true;
            if(!chk(n,pri[i])) return false;
            
        }
        return true;
    }
}Test;
struct Pollard_Rho{
    int k=127;
    inline ll F(ll x,ll c,ll mod){
        x%=mod;
        return (x*x+c)%mod;
    }
    inline ll abs(ll x){return (x>0)?x:-x;}
    inline int gt_div(ll x){
        int c=rand()%(x-1)+1;
        ll s=0,t=0,v=1;
        ll tt=0;
        for(int w=1;;w<<=1,s=t){
            for(int num=1;num<=w;num++){
                tt++;
                t=F(t,c,x);
                v=v*(abs(t-s)%x)%x;
                if(!v) return x;
                if(num%k==0){
                    int d=__gcd(v,x);
                    if(d>1) return d;
                }
            }
            int d=__gcd(v,x);
            if(d>1) return d;
        }
    }
}Pr;
inline void fac(int x){
    if(x==1) return ;
    if(Test.is_pri(x)){
        cout<<x<<' ';
        return ;
    }
    int now=x; while(now==x) now=Pr.gt_div(x);
    x/=now;
    fac(x); fac(now);
}