P4389 付公主的背包

非常好的 $exp$ 优化背包

首先背包不可优化。

考虑先求出 $\ln (\prod _{i=1}^{n}1-x^{p_i})$，再 $exp$ 还原多项式即可。

又可知上述式子可被化为 $\sum _{i=1}^n\ln (1-x^{p_i})$，然后就是一个很妙但好像很典的东西：

$$\ln (1-x)=\sum _{i=1}\frac{x^i}{i}$$

如何得到？

设 $F(x)=\ln (1-x)$，考虑求出 $F(1)(x)=(1-x{)}^{-1}$，$F(2)(x)=(1-x{)}^{-2}$，$F(3)(x)=2(1-x{)}^{-3}$。

所以 $F(k)(x)=(k-1)!(1-x{)}^{-k}$

在 $0$ 点处泰勒展开：

$$\sum _{i=0}\frac{F(i)(0)}{i!}=0+\sum _{i=1}\frac{(i-1)!1^{-i}{x}^i}{i!}=\sum _{i=1}\frac{x^i}{i}$$

对于 $\ln (1-x^y)$ 同理，可得 $\ln (1-x)=\sum _{i=1}\frac{x^{iy}}{i}$。

所以相当于对 $y$ 的倍数（$iy$）加上 $\frac{1}{i}$，这个直接调和级数，复杂度是 $O(nlogn)$。
然后套个 $exp$ 板子即可。