min-max 容斥学习

感觉这个东西虽然不常考，但是如果真考到了，不知道就真的不知道了。

结论：$max(S)=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|T|-1}min(T)$。

证明很简单，这里就不证了。

这个是解决在 $max$ 不好求但 $min$ 好求的问题。

例题： [HAOI2015] 按位或

这个容斥在期望条件下也满足，考虑 $min(T)$ 表示第一次选中集合 $T$ 中的元素。

这个期望求起来很简单，就是一个“等比-等差”，最后就是 $\frac{1}{1-\sum _{x\in T}{p}_x}$

对于 $\sum _{x\in T}{p}_x$ 高位前缀和解决即可。