min-max 容斥学习

感觉这个东西虽然不常考，但是如果真考到了，不知道就真的不知道了。

结论：\(\max(S) = \sum_{T \in S} (-1)^{|T|-1} \min(T)\)。

证明很简单，这里就不证了。

这个是解决在 \(max\) 不好求但 \(min\) 好求的问题。

例题： [HAOI2015] 按位或

这个容斥在期望条件下也满足，考虑 \(\min(T)\) 表示第一次选中集合 \(T\) 中的元素。

这个期望求起来很简单，就是一个“等比-等差”，最后就是 \(\frac{1}{1 - \sum_{x \in T} p_x}\)

对于 \(\sum_{x \in T} p_x\) 高位前缀和解决即可。