三元环计数

一个非常简单的trick，之前一直没有去了解。

对于一个无向图的三元环个数，很容易能想到一个 $O(\sum _{(u_i,v_i)\in E}d{u}_{v_i}+m)$ 的做法。

我们考虑将每条边 $(u,v)$ 按照某种方法给每条边定向，使得三元环当且仅当 $(u\to v),(v\to k),(u\to k)$。然后发现当我们让边 $(u,v)$ 按度数从低向高连边，能得到一个有向无环图，而此时的复杂度就是 $O(\sum _{(u_i,v_i)\in E}ou{t}_{v_i}+m)$ 的，而此时就是 $O(m\sqrt{m})$ 的。

以下是证明：

• 当 $ou{t}_v$ 小于 $\sqrt{m}$，最高复杂度也就是 $O(m\sqrt{m})$。

• 当 $ou{t}_v$ 大于 $\sqrt{m}$，由于按照度数从低向高连边，所以之多有 $O(\sqrt{m})$ 个点，一样是 $O(m\sqrt{m})$。

Q.E.D.