求点到直线、平面的距离

点到直线的距离

对于一条直线，可以被写作 $Ax+By+C=0$。

我们设要求的点 $Q$ 为 $(x_0,y_0)$。

这里用一个自认为最妙的做法计算，感觉比向量更简单。

设直线上一点 $P$ 为 $(x,y)$，那么 ${|PQ|}^2=(x_0-x{)}^2+(y_0-y{)}^2$

由柯西不等式可以得到：

$((x_0-x{)}^2+(y_0-y{)}^2)(A^2+B^2)\ge (A(x_0-x)+B(y_0-y){)}^2$

$|PQ|\sqrt{A^2+B^2}=A(x_0-x)+B(y_0-y)=A{x}_0+B{y}_0-Ax-By$

由于 $C=-Ax-By$，所以

$|PQ|\sqrt{A^2+B^2}=A{x}_0+B{y}_0+C$

$|PQ|=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$

点到平面的距离

也是类似的做法，最后答案为 $\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。