浅谈powerful number

powerful number

定义：对于一个正整数 $x={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}{p_3}^{k_3}...{p_n}^{k_n}$，满足 ${\mathrm{\forall }}_{1\le i\le n},k_i>1$。

性质1：所有 powerful number 都能被写成 $a^2{b}^3$ 的形式。

证明1：若 $k_i$ 为偶数，就将其放入 $a$ 中；若 $k_i$ 为奇数，就将其放入 $b$ 中，若有余数再将其放入 $a$ 中。

性质2：在 $[1,n]$ 中有且存在 $O(\sqrt{n})$ 个 powerful number。

证明2：考虑积分证明，得到个数为 ${\int }_1^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}dx=3n^{\frac{1}{2}}-3n^{\frac{1}{3}}$，所以是 $O(\sqrt{n})$ 的。

PN 筛

找一个积性函数 $g$ 与目标函数 $f$ 在质数上值相同，即 ${\mathrm{\forall }}_p,f(p)=g(p)$，接着用 $f=g\ast h$ 得到函数 $h$，这个过程又叫拟合。PN 筛就是满足 $f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)=h(p)+g(p)\to h(p)=0$，所以只有在 powerful number 处才会有值，而只有 $O(\sqrt{n})$ 个这种值。

例题

这就属于很板的题了，由于 $f(p)=2$，所以会想到 $d(p)=2$，这里 $d$ 表示约数个数，然后拟合就行了，属于是板题中的板题了。

这里贴一个找 powerful number 的代码，就直接按定义去找就行了($op$ 表示是否是新的 powerful number)。

void powerful_number(int x,int p,int op){
	if(x==cnt+1) return ;
	if(pri[x]*pri[x]>n/p) return ;
	powerful_number(x+1,p,0);
	for(int k=pri[x]*pri[x];k<=n/p;k=k*pri[x]){
		powerful_number(x+1,p*k,1);
		if(k>n/p/pri[x]) break;
	}
}