Nim及SG函数

HDU 4315

题目：山上有ｎ个人，每个人给出距离山顶的距离，给出其中一个人为ｋｉｎｇ，每次能挑选一个人向上移动，不能越过其他人，最后将ｋｉｎｇ移动到山顶者获胜。问获胜者。

思路：转化为ＮＩＭ游戏。

简记：

ＮＩＭ游戏：有ｎ堆石子，每次可以选择一堆拿走任意数量的石子，不能拿石子的一方失败。

ＮＩＭ游戏的必败态为所有堆的石子数目异或值为０的情况，那是因为，如果异或值不为０，设其为ｘ，ｘ的二进制表示中的最左边的一位１必然存在一堆(设为ｚ）与之对应，将这一堆取成y=x^ｚ，那么得到的状态为异或值为０（必败态），而必败态不论如何取，后继状态必然为必胜态。（具体参考《算法竞赛入门经典训练指南》）

本题与ＮＩＭ游戏的关系与转化。

如果ｋ＝１，那么显然先手必胜。

先考虑一个简化问题：不考虑ｋｉｎｇ，当不能移动时为败。

首先注意到一个必败：如果ｎ为偶数，且所有奇数位的人与其后的人均紧靠，那么此时为必败态，因为不论先手如何移动（只可能移动奇数位），后手必然可以移动偶数位使其依然保持紧靠。如果加入考虑ｋｉｎｇ，那么ｋ为偶数时，同上讨论，先手必败，如果ｋ为奇数，那么可以把游戏看为移动ｋ－１位置的人到１（由前讨论，后手可以达到这一目标），故ｋ为奇数时仍然为先手必败态。

此时我们就可以考虑如何将游戏进行至必败态，如果先手移动奇数位，那么后手总可以移动偶数位使得相隔距离不变，所以问题可以只考虑奇数位和其后相邻的偶数位的间距，把他们看成ＮＩＭ堆，移动对应减少石子，当石子数为０时就是紧靠的必败态。

当ｎ为奇数时，如果ｋ不等于２，那么可以把第一个人到山顶看成一堆石子，当ＮＩＭ游戏结束时第一个人到达山顶，情况就变得和偶数时一样。

如果ｋ等于２，那么第一个人到山顶就是必败态，故第一个人最多能到１的位置，第一堆石子数减一。

主要思路参考ｋｕａｎｇｂｉｎ大神：http://www.cnblogs.com/zhourongqing/archive/2012/07/28/2613679.html

#include <iostream>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <functional>
#include <set>
#include <cmath>
#define pb push_back
#define fs first
#define se second
#define sq(x) (x)*(x)
#define eps 0.0000000001
#define IINF (1<<30)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxv=1005;
int n,k;
int a[maxv];
int main(){
    freopen("/home/files/CppFiles/in","r",stdin);
    /*    std::ios::sync_with_stdio(false);
        std::cin.tie(0);*/
    while(cin>>n>>k){
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",a+i);
        }
        if(k==1){
            puts("Alice");
            continue;
        }
        if(n%2==0){
            int res=0;
            for(int i=1;i<n;i+=2){
                res^=a[i]-a[i-1]-1;
            }
            if(res==0){
                puts("Bob");
            }else{
                puts("Alice");
            }
        }else{
            int res=0;
            if(k==2){
                res^=a[0]-1;
            }else{
                res^=a[0];
            }
            for(int i=2;i<n;i+=2){
                res^=a[i]-a[i-1]-1;
            }
            if(res==0){
                puts("Bob");
            }else{
                puts("Alice");
            }
        }
    }
    return 0;
}