差分约束（poj 1201

这里简要记一下差分约束。

所谓差分约束，指的是由a-b>=c这种不等式组组成的约束系统。一般的线性规划问题可以用单纯形法解决，但是这种特殊情况可以借助最短路算法解决。

记源点到v的最短路为d[v],从u到v的最短路为d(u,v)。差分约束的最短路做法基于最短路的以下特点：

对于没有负圈的图，任意两点d[u]+d(u,v)>=d[v]，实际上相当于一条从u到v的长度为d的边（类比求最短路的过程，可以知道的d[v]的最终值是（d[u]+d(u,v))的最小值）。

对于约束条件都转化成以上形式连边之后，所求得的d[t]-d[s]也就是d[t]其实就是原约束条件下d[t]-d[s]的最大值。（因为各路径的约束条件中取等号即最短路时差取最大值d(u,v))

对于求最小值的情况，需要转化成d[u]+d(u,v)<=d[v]这样的形式，然后连边求最长路，与最短路时对称。

1201代码：

#include<iostream>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<functional>
#include<set>
#define pb push_back
#define fs first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxv=5e4+400;
struct E{
    int t,w;
    E *next;
}es[maxv*4];
int h=0;
E *G[maxv];
E *tail[maxv];
void add(int from,int to,int w){
    tail[from]->next=&es[h++];
    tail[from]->t=to;
    tail[from]->w=w;
    tail[from]=tail[from]->next;
    tail[from]->next=NULL;
}
int n;
int dis[maxv];
int s=maxv,t=0;
bool vis[maxv];
queue<int> Q;
void BF(int s){
    for(int i=s;i<=t;i++) dis[i]=-1e9;
    dis[s]=0;
    Q.push(s);
    vis[s]=1;
    while(!Q.empty()){
        int v=Q.front();
        Q.pop();
        vis[v]=0;
        for(E *i=G[v];i->next!=NULL;i=i->next){
            E &e=*i;
            if(dis[e.t]<dis[v]+e.w){
                dis[e.t]=dis[v]+e.w;
                if(!vis[e.t]){
                    vis[e.t]=1;
                    Q.push(e.t);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dis[t]<<endl;
}
int main(){
    //////freopen("/home/files/CppFiles/in","r",stdin);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<maxv;i++){
         G[i]=&es[h++];
         tail[i]=G[i];
         tail[i]->next=NULL;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);////左闭右开区间
        s=min(s,x);
        t=max(t,y+1);
        add(x,y+1,z);
    }
    for(int i=0;i<maxv-1;i++){
        add(i,i+1,0);
        add(i+1,i,-1);
    }
    BF(s);
    return 0;
}

PS：这题卡vector邻接表。。。。