ATC 做题记录

合集 - 做题记录(10)

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10.ATC 做题记录2023-10-29

收起

其实是对着 yhx-12243 一个一个题噶的。

板刷 ATC 计划。

[ARC078F] Mole and Abandoned Mine
求一个联通图的子图保证 $1 \to n$ 只有一条路径且联通且边权和最大。
考虑把这一条链记下来，围绕这个这条链构造。状压下来每个点的连通性。我们需要知道的是，我们选完一条链后，每个点可以选若干联通快挂在底下。
我们考虑 $f_{st, x}$ 表示联通性如 $st$，目前链到了 $x$。
那么就有两种情况。
从 $x\to y$ 这个可以枚举一条出边，取一个集合外的点 $y$。

$$f_{st, x} + e_{x, y} \underset{y \notin st}\to f_{st \cup y, y}$$

从 $x$ 选一个联通块，并计算其导出子图的贡献。

$$f_{st, x} + val_{G, x} \underset{y \notin st}\to f_{st \cup G, x}$$

我们可以预处理每一个导出子图内点的贡献，以及导出子图到 $x$ 的所有边，配合枚举子集可以做到 $O(3 ^ n)$。

int sub = ~(-1 << n | st);
for ( ; sub; sub = (sub - 1) & ~st)

[AGC014D] Black and White Tree
先考虑链上情况，奇数先手胜，偶数先手负。
然后我们扩展到一颗由若干条链的子树上。
若有 2 条即以上奇数链，则可以染根，然后选一条链来染必然可以，否则可以随时被破坏。
考虑拼若干子树。我们如果有若干先手败的子树，我们可以转化到父亲先手胜的子树，所以可以有以下理论。

• 两条及以上的奇链拼起来是先手必胜。
• 有两颗及以上子树是先手必败。

[AGC007D] Shik and Game

考虑这些老头爆金币肯定要等一会时间，所以可以往返，那具体是什么时候呢？
我们可以考虑在一个点出发爆金币后再往返一次，取回之前的人爆的金币，这个是最优情况。
与之对应的只需要证明爆玩金币后在走是更优的就行了。
那么咋做？

$$f_i = \min f_j + (x_i - x_j) + max\{2(x_i - x_{j + 1}), T\}$$

其中 $x_i - x_j$ 不难发现为 $0 \to e$ 这一段。我们拿单调队列维护 $2（x_i - x_{j + 1}）\geq T$ 即可。

[AGC035D] Add and Remove

考虑贡献的最小值。然后自然可以想到记下左右端点的系数，然后 dp。
观察到序列左右端点只会在最后合并一次，所以考虑逆推。
记录 $f_{l, r, cl, cr}$ 为左右端点为 $l - 1, r + 1$ 系数为 $cl, cr$ 然后有：

$$f_{l, r, cl, cr} = \min f_{l, i - 1, cl, cl + cr} + f_{i + 1, r, cl + cr, cr} + (cl + cr) * a_i$$

状态数较少，直接暴搜 $dfs(2, n - 1, 1, 1)$ 即可。

[ARC065F] シャッフル

考虑维护一个端点最右边的 $r$。
那么我们考虑 $f_{i, j}$ 为前 $i$ 个数 $j$ 个 1。
然后我们考虑贪心调度出 1 的上下界即可。

注意 Implement。

ABC 神秘东方力量大赏。

[ABC256Ex] I like Query Problem

GJOI 原题？？考虑以不相同元素个数为势能，必然修改后变小，所以除法如果 min = max 直接转化为区间加，否则暴力改即可。
注意下传 cover 时清空 add。

[ABC255Ex] Range Harvest Query

我真的不是杀软二次元（）

Chtholly-Tree 模板题，考虑颜色段。
每次修改只会增加 $O(1)$ 个颜色段，容易发现每个颜色段只会使用一次，所以是 $O(q)$ 个。
考虑怎么计算一个段的贡献，等差数列即可。

$$\frac{(d - d0)(l + r)(r - l + 1)}{2}$$

[ABC258Ex] Odd Steps

考虑 dp。

$f_i = f_{i - 1} + f_[i - 3} + .....$。

这些可以考虑直接使用矩阵快速幂维护，然后分段计算，对于每个 $a_i$ 清零即可。

[ABC259Ex] Yet Another Path Counting

考虑按照每个颜色出现次数分类。

$\geq n$ 考虑直接 $dp$，每次讨论转移下来和新开一条路即可。

$\leq n$ 用 $n^2$ 的组合数算就好了。

[ABC302Ex] Ball Collector

感觉 ptsd 没了，现在又新的东西了。

考虑 $a_i \to b_i$。然后根据填数游戏我们发现一颗树就只能选 $v - 1$ 个点。然后其他都是 $v$。

可撤销并查集。