结论题，事实上很多时候贪心全选是对的。

扫描线

P7530 [USACO21OPEN] United Cows of Farmer John P

没地方写导致的 $qwq$ 。

我们发现大致要写一个麻烦的偏序，但是如果我们维护一个扫描线，仅仅更新能更新的地方，就是我们不关心后继，扫到新的撤销前驱即可，所以我们可以变成类二维数点问题，写一棵维护系数的线段树即可。

大致上是在新的地方往前驱以前都加一，撤销前驱的系数即可。下面有形式化的代码。

P5926 [JSOI2009] 面试的考验

考虑偏序挂点。

考虑往某个点挂上 $(i, a_i)$ 假设我们已经在 $a_x$ 上挂上去了，我们发现如果要在 $a_y$ 上挂上要满足 $a_y - a_i > a_x - a_y \to a_y \leq \frac{a_i + a_x}{2}$ 。

那么值域就满足折半，即只有 $\log n$ 个点，算出来即可。

分治，关键字 “除开一项的所有”

CF1442D Sum

妈的，学这么多年终于学到了！！

结论：必然全选完数组，然后剩下的选一个单个的。

证明：考虑选出数组， $a$ , $b$ 若都没选完，那么考虑选更牛逼那个接在后面。

但是我们咋做那个？

考虑分治，求 $[l, mid]$ 时先插 $[mir + 1, r]$ 或者求 $[mid + 1, r]$ 先插 $[l, mid]$ 即可。

事实上，不如线段树分治。

选取若干路径的问题

或者是 XOR，那个题是点边转化。

[AGC010C] Cleaning

这一类问题考虑从子树内连上去的和子树外的。

不妨设子树外的决策为 $f_x$ ，这个一般要记下来。

那么考虑到 $\sum f_y$ 这是子树内连出去的，那么可以计算出 $f_x = 2a_x - \sum f_y$ 这些是经过这个 $x$ 这个点的。

接下来除了这个，还要考虑子树经过 $x$ 匹配的问题，这个问题考虑最大值是否超过一半即可。

可以归纳证明。

换根 LCA Trick

l c a_{r t} (u, v) = l c a_{u, r t} \oplus l c a_{v, r t} \oplus l c a_{u, v}

$lca_{rt}(u, v) = lca_{u, rt} \oplus lca_{v, rt} \oplus lca_{u, v}$

三者总有两种相等。

走一步，算两步

CF1749F Distance to the Path

考虑记录 $f_{x, d}$ 为 $x$ 子树内距离 $\leq d$ 的修改和。
考虑链上的 $f_{x, d} - f_{fa_x, d}$ 这些的重复消除，维护到 $x$ 距离为 $d$ 的即可。
然后考虑每次爬树，不难发现跳到父亲那么要算的由 $f_{x, d}$ 变到了 $f_{fa_x, d - 1}$ 中间还有一个元素的 gap，那么考虑给 $f_{x, d - 1}$ 加上就可以了。
然后开二十个树状数组维护链上的 tag，然后考虑维护就直接差分，然后每次查询子树和即可。