7.对于树上随机游走的一类研究。2023-07-19

8.GF 和群论2023-07-13 9.Prüfer2023-07-06 10.数论相关。2023-07-02 11.数据结构2023-07-02 12.线性基2023-08-09

我们可以考虑使用高斯消元求期望，虽然 $O(n^3)$ 但是很有一些启发性。

就是节点的期望与父亲的期望上表述有一次性。也就是说 $f_u = a_uf_{fa} + b_u$ 这个式子。

CF1823F Random Walk

树上随机游走，求 $s\to t$ 的路上， $1 \to n$ 的期望经过次数。

考虑如下式子：

f_{t} = 1

$f_t = 1$

f_{u} = \sum_{v \in E, v \neq t} \frac{f_{v}}{d e g_{v}}

$f_u = \sum_{v \in E, v \neq t} \frac{f_v}{deg_v}$

f_{s} = 1 + \sum_{v \in E, v \neq t} \frac{f_{v}}{d e g_{v}}

$f_s = 1 + \sum_{v \in E, v \neq t} \frac{f_v}{deg_v}$

利用这些可以 $O(n ^ 3)$ 高斯消元。

然后考虑如上结论： $f_u = a_uf_{fa} + b_u$ ，注意一些 $t$ 的情况暂时没有考虑。

f_{u} = \frac{f_{f a}}{d e g_{f a}} + \sum_{v \in S} \frac{f_{v}}{d e g_{v}} + [u = s]

$f_u = \frac{f_{fa}}{deg_{fa}} + \sum_{v \in S}\frac{f_v}{deg_v} + [u = s]$

f_{u} = \frac{f_{f a}}{d e g_{f a}} + \sum_{v \in S} \frac{a_{v} f_{u} + b_{v}}{d e g_{v}} + [u = s]

$f_u = \frac{f_{fa}}{deg_{fa}} + \sum_{v \in S}\frac{a_vf_u + b_v}{deg_v} + [u = s]$

f_{u} = \frac{f_{f a}}{d e g_{f a}} + \sum_{v \in S} \frac{a_{v}}{d e g_{v}} f_{u} + \sum \frac{b_{v}}{d e g_{v}} + [u = s]

$f_u = \frac{f_{fa}}{deg_{fa}} + \sum_{v \in S}\frac{a_v}{deg_v}f_u + \sum\frac{b_v}{deg_v} + [u = s]$

(1 - \sum_{v \in S} \frac{a_{v}}{d e g_{v}}) f_{u} = \frac{f_{f a}}{d e g_{f a}} + \sum \frac{b_{v}}{d e g_{v}} + [u = s]

$(1 - \sum_{v \in S}\frac{a_v}{deg_v})f_u = \frac{f_{fa}}{deg_{fa}} + \sum\frac{b_v}{deg_v} + [u = s]$

除过去即可求得 $a_u$ 和 $b_u$ ，为左右两项。根节点和叶子好求，于是就求出来了。除过去有些是 0！/fn

void dfs1 (int x, int fa) {
	if (x == t) {
		f[x] = 1, a[x] = invd[fa], b[x] = 0;
		return ;
	}
	int suma = 0, sumb = (x == s);
	for (int y : e[x]) {
		if (y == fa) continue ;
		dfs1(y, x);
		if (y == t) continue ;
		suma = add(suma, 1ll * a[y] * invd[y] % mod),
		sumb = add(sumb, 1ll * b[y] * invd[y] % mod);
	}
	suma = sub(1, suma);
	a[x] = 1ll * power(suma, mod - 2) * invd[fa] % mod;
	b[x] = 1ll * power(suma, mod - 2) * sumb % mod;
}
void dfs2 (int x, int fa) {
	if (x == t) { return ; }
	f[x] = add(1ll * a[x] * f[fa] % mod, b[x]);
	for (int y : e[x]) if (y != fa) dfs2(y, x);
}