DP 总结想写啥写啥。

合集 - 算法总结(12)

1.字 符 串2022-03-312.子序列自动机瞎吹2022-03-313.网络流总结2023-07-02

4.DP 总结想写啥写啥。2023-07-02

5.斜率优化2022-08-126.拉格朗日插值2022-07-127.对于树上随机游走的一类研究。2023-07-198.GF 和 群论2023-07-139.Prüfer2023-07-0610.数论相关。2023-07-0211.数据结构2023-07-0212.线性基2023-08-09

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妈的，模拟赛就我不会 dp，举报了。

插入式 dp / 适用于排列的一类技巧

考虑钦定 $i$ 这一个维度是比 $i - 1$ 这一个维度劣的，事实上这是增量式的 dp 方式。

• bamboo

删掉一个数会有 $h_i + h_{i - 1} + h_{i +1}$ 的代价。求删完 n 个数的方案数。

首先不要考虑 $h_i$ 的代价，考虑 $i$ 和 $i - 1$ 的相对顺序。事实上这就是先考虑 $i - 1$ 的傻狗位置，然后就让 $i$ 挑一个位置，前面的那些傻狗数都挪位就好了，实质上是对若干状态的隐式的转移。

但这其实不仅仅是这个，还有一类称为“连续段”的 dp 技巧。

• P5999 [CEOI2016] kangaroo

考虑 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个数分 $j$ 个段。

考虑称这些满足题目条件的为一个 “段”。

显然是可以：

• 新开一段，注意首尾。

• 放在一段的首尾：但是这样左右符号必然不同所以是不行的。

• 连接两段。

注意对于首尾的限制，感觉不如摩天大楼。

• CF704B Ant Man

// 考虑插入 dp 加费用提前计算，即拆分贡献。
// 先分成四类贡献 ：
/*	
	左边比 i 小：xi + ai
	左边比 i 大：-xi + bi
	右边比 i 小：xi + ci 
	右边比 i 大：-xi + di
*/ 
// 对于 s : 新建一段，右边比他大。插入一段，右边比他小。
// 对于 t : 新建一段，左边比他大。插入一段，左边比他小。
// 普通点 ： 新开一段，左右都大，合并两端，左右都小，放左边，右边小左边大，放右边，左边小右边大
// 注意到这不是边上的点，所以肯定有贡献。 
// 但其实可以 bi - xi, ai + xi 之类的。 

模拟赛题

整体 dp

大致是面对限制之类的用一维描述奇特的约束。通常需要线段树合并。

命运已经全忘了。

P4577 [FJOI2018] 领导集团问题

注意到子树内不同子树是没有区别的。然后我们考虑整体 dp.

$f_{u, j}$ 的描述很简单，考虑如何转移。

$f'_{u, i} = \max\{f_{u, i} + \underset{j \geq i} \max f_{v, j}, f_{v, i} + \underset{j \geq i} \max f_{u, j}\}$

$f_{u, a_u} = 1 + \sum \underset{w \geq a_u} \max f_{v, w}$

前面那一个可以考虑线段树维护后缀最大值，但是需要区间加 tag.

可以做一下 yusland.

CF1455G Forbidden Value

考虑把 $0$ 放在外边当根，然后我们可以直接整体 DP，记 $f_{x, k}$ 为走出 $x$ 的子树值为 $k$ 的方案。

set 操作：

$$f_{x, k} = \min f_{y, i}$$

$$f_{x, i} = f_{x, i} + v_y (i \ne k)$$

可以使用全局加，单点修改维护，注意顺序。

if 操作：

$$f_{x, k} = f_{x, k} + f_{y, k}$$

$$f_{x, i} = \min \{f_{x, i}, f_{x, k} + f_{y, i}\}$$

注意顺序，单点修改，全局加，线段树合并。

CF671D Roads in Yusland 测你妈，忘了怎么写？？

动态 dp

总所周知，序列上的动态 dp 谁都会。

就是最大字段和那个题 ：

GSS3 - Can you answer these queries III

直接 DP。

考虑 $f_i$ 表示以 $i$ 结尾的最大和，$g_i$ 为总的最大和。

$f_i = \max\{f_{i-1} + a_i, a_i\}$

$g_i = \max\{g_{i -1}, f_i\}$

$\begin{vmatrix} f_{i-1} & g_{i-1} & 0 \\ \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} a_i & a_i & -\infty \\ -\infty & 0 & -\infty \\ a_i & a_i & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f_i & g_i & 0 \\ \end{vmatrix}$

注意这里其实是定义了个 max+ 卷积。

P6021 洪水。

写了个 LCT，考虑 dp.

$f_u = \min\{a_u, \sum f_v\}$

然后拆掉虚实儿子。

$f_u = \min\{a_u, g_u + f_v\}$

考虑 min + 卷积。

构造矩阵答案是 $\begin{vmatrix} f_u \end{vmatrix}$ 的话，显然很难。

这个时候考虑构造 $\begin{vmatrix} f_i \\0 \end{vmatrix}$ 这个是很经典的 trick.

然后我们就有 ：

$\begin{vmatrix} g_u & a_u \ 0 & 0 \ \end{vmatrix} *\begin{vmatrix} f_{h_u} \ 0 \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} f_u \ 0 \ \end{vmatrix}$

这里讲一下动态 dp 的注意的点 ：

• 全局的动态 dp 不用换根 lct
• 可以适当重载运算符
• 注意 lct 的 pushup 的中序遍历。
• access 的过程是加上变虚的儿子，减去变实的儿子。

LCT 常数好大 /kk.

CF1609E William The Oblivious

你妈唐题，注意写成向量转移的形式即可。

wqs 优化 dp

通常可以理解为答案函数是有凸性的，由于二阶导是恒为正或者负的.

所以我们可以尝试二分这个函数的导数，让导数作用在转移内，可以计算出坐标，知道了导数对应的坐标后可以继续二分。

拜谢 gaosichensb。

• P4383 [八省联考 2018] 林克卡特树

不会其他题，征途过于简单了 （bushi）。

割掉 $k$ 条边，然后连上 $k$ 条边，求树的直径的长度最大值。

显然就是割剩了 $k + 1$ 个连通块，然后直接拼起来，最后直接算就好了。

变成了选取树上 $k+1$ 条不相交路径。考虑 wqs 二分，然后变成随便选若干条路径就好了。

考虑 dp，然后把 $k$ 这个东西塞进 dp 答案里的 pair, 目前还比较自然。

然后分三类情况讨论，第一是自己还没有被接上，另一种是接上了一条，另一种是全接上了。

f[u][2] = max(f[u][2], max(f[u][2] + f[v][0], f[u][1] + f[v][1] + edge[i] + tmp));

f[u][1] = max(f[u][1], max(f[u][1] + f[v][0], f[u][0] + f[v][1] + edge[i]));

f[u][0] = max(f[u][0], f[u][0] + f[v][0]);

f[u][0] = max(f[u][0], max(f[u][1] + tmp, f[u][2]));

只可意会不可言传。

决策单调性

咕一下。

杂题。

CF55D Beautiful numbers

P6754 [BalticOI 2013 Day1] Palindrome-Free Numbers

CF449D Jzzhu and Numbers

P4127 [AHOI2009]同类分布

CF628D Magic Numbers

CF1612F Armor and Weapons

CF464D World of Darkraft - 2

CF1144G Two Merged Sequences

CF441E Valera and Number

CF704B Ant Man

2023.7.11 的听课笔记

[CEOI 2009] Photo

$\text {key observation}$ : 保留 $x$ 相同的时候，$y$ 最大的值。

然后可以考虑建出笛卡尔树。

设 $f_{i, j, k}$ 表示覆盖了 $[i, j]$ 中高度 $\geq k$ 的最小个数。

显然有 $f_{i, j, k} \to f_{i, j, k + 1}$

合并两个区间，或者在 $[i, j]$ 间放一个尽量大的矩形。

目标状态 $f_{1, n, 1}$。

path

差不多想出来了？

tricky

$\text {key observation}$ : 考虑这个能够走到的是一个矩形，所以我们还是别用折线表示了 （）

$$f_{i, j, n, m, 0 \to 3}$$

这个我们可以考虑二维部分和计算，尺寸小的先计算，大概是比较有前途的。

可惜不能直接把 ppt 蹦下来，无语住了。

P2943

我超，原！首先颜色数 $\leq \sqrt{n}$。

怎么证明操作不相交？这个其实是显然的，必然有一端会变小，所以说必然是首位相接的几段，然后单调维护最大的一些位置即可。

CF856D Masha and Cactus

考虑直接在 $\text lca$ 上选链。

然后就是直接加上末端的那些没被覆盖的和其他子树求 max。

我们考虑子树求和，然后可以直接乱算即可，好典。

然后树剖维护即可。

ftiasch 's Contest #4 Data Structure You 've Never Heard Of ： 求不降转化为或运算，然后可以考虑做高维前缀和，很神仙。

[POI 2014] tourism ： 真难吧。