高次剩余问题

二次剩余 $\mathbf{\text{Quadratic Residue}}$

定义：令整数 $a,p$ 满足 $a\perp p$，且 $p$ 为奇素数，若存在 $x$ 使得以下式子成立：

$$x^2\equiv a(\text{mod}p)$$

则称 $a$ 为模 $p$ 的二次剩余，否则 $a$ 为模 $p$ 的二次非剩余。

$\text{Euler}$ 判别法

内容

若 $a$ 为模 $p$ 的二次剩余，当且仅当 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{mod}p)$。

若 $a$ 为模 $p$ 的二次非剩余，当且仅当 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\text{mod}p)$。

证明

因为 $p$ 为奇素数，根据 $\text{Fermat}$ 小定理有：

$$a^{p-1}\equiv 1(\text{mod }p)$$

$$a^{p-1}-1\equiv 0(\text{mod }p)$$

$$(a^{\frac{p-1}{2}}+1)(a^{\frac{p-1}{2}}-1)\equiv 0(\text{mod }p)$$

所以

$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1(\text{mod }p)$$

所以只需证明若 $a$ 为模 $p$ 的二次剩余，当且仅当 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{mod}p)$。

• 充分性

因为

$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{mod }p)$$

且

$$x^2\equiv a(\text{mod }p)$$

所以

$$x^{p-1}\equiv 1(\text{mod }p)$$

根据 $\text{Fermat}$ 小定理，充分性得证。

• 必要性

设 $g$ 为模 $p$ 的一个原根，那么 $\mathrm{\exists }k,\text{s.t.}{g}^k\equiv a(\text{mod }p)$。

因为

$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{mod }p)$$

所以

$$(g^k{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{mod }p)$$

又因为 $g$ 为模 $p$ 的一个原根，所以 $(p-1)|\frac{k(p-1)}{2}$，所以一定 $\mathrm{\exists }x,\text{s.t. }x\equiv g^{\frac{k}{2}}(\text{mod }p)$，此时有 $x^2\equiv a(\text{mod}p)$，必要性得证。

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所以，若 $a$ 为模 $p$ 的二次剩余，当且仅当 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{mod}p)$。

若 $a$ 为模 $p$ 的二次非剩余，当且仅当 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\text{mod}p)$。

$\text{Legendre}$ 符号

定义

对奇素数 $p$ 与整数 $a$，$\text{Legendre}$ 符号定义如下：

$$\left(\begin{array}{c}\frac{a}{p}\end{array}\right)=\{\begin{array}{l}0,p|a\\ 1,(p\nmid a)\wedge (\mathrm{\exists }x\in \mathbb{Z},x^2\equiv a(\text{mod }p))\\ -1,\text{otherwise.}\end{array}$$

性质

$$\forall a\in \mathbb{Z},a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \left(\begin{array}{c}\frac{a}{p}\end{array}\right)(\text{mod }p)$$

$$a_1\equiv a_2(\text{mod }p)⟺\left(\begin{array}{c}\frac{a_1}{p}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{a_2}{p}\end{array}\right)$$

3. $\text{Legendre}$ 符号为完全积性函数：

$$\left(\begin{array}{c}\frac{a_1{a}_2}{p}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{a_1}{p}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{a_2}{p}\end{array}\right)$$

4. 二次互反律
   设 $p,q$ 为两不同奇素数，则：

$$\left(\begin{array}{c}\frac{p}{q}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{q}{p}\end{array}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$

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