线性代数 Linear Algebra

矩阵乘法 $\text{Matrix Multiplication}$

可以用来解决值域大的问题。

矩阵乘法可以用来加速线性递推式。

由于可以使用矩阵快速幂，矩阵乘法可以将线性递推 $O(n)$ 的时间复杂度优化至 $O(\log n)$。所以对于此类题型，最重要的就是找到固定的线性递推式，列出转移矩阵。

注意：矩阵无乘法交换律。乘的时候要注意顺序。

$\text{Examples:}$

P1962 斐波那契数列

和某个入门题很像，但值域扩大到了 $[1,2^{63})$ ，当然不能暴力求解，考虑把 $f_n$ 和 $f_{n-1}$ 当成向量写在一起：$\left[\begin{array}{c}{f}_n\\ f_{n-1}\end{array}\right]$，然后找出使下列等式成立的转移矩阵 $\mathbf{\text{A}}$：

$$\left[\begin{array}{c}{f}_n\\ f_{n-1}\end{array}\right]=\mathbf{\text{A}}\left[\begin{array}{c}{f}_{n-1}\\ f_{n-2}\end{array}\right]$$

容易得出：$\mathbf{\text{A}}$ $=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$。那么，乘上 $n-2$ 次 $\mathbf{\text{A}}$ 后就是这样的：

$$\left[\begin{array}{c}{f}_n\\ f_{n-1}\end{array}\right]={\mathbf{\text{A}}}^{n-2}\left[\begin{array}{c}{f}_2\\ f_1\end{array}\right]$$

P1349 广义斐波那契数列

与上一题相同，类比得到：

$$\left[\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right]={\mathbf{\text{A}}}^{n-2}\left[\begin{array}{c}{a}_2\\ a_1\end{array}\right]$$

$$\mathbf{\text{A}}=\left[\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 0\end{array}\right]$$

P1939 矩阵加速

这题的递推式有些奇怪，但不影响我们推，所以考虑开一个四维向量，如下：

$$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_{x-1}\\ f_{x-2}\\ f_{x-3}\end{array}\right]={\mathbf{\text{A}}}^{x-4}\left[\begin{array}{c}{f}_4\\ f_3\\ f_2\\ f_1\end{array}\right]$$

再将 $f_x$ 代换成 $f_{x-1}+f_{x-3}$，解出：

$$\mathbf{\text{A}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

P2044 随机数生成器

线性递推式：$X_{n+1}=a{X}_n+c$。

$$\left[\begin{array}{c}{X}_n\\ c\end{array}\right]=\mathbf{\text{A}}\left[\begin{array}{c}{X}_{n-1}\\ c\end{array}\right]$$

$$\mathbf{\text{A}}=\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

注意到这题模数非常大，达到了 ${10}^{18}$ 的大小，所以应该使用龟速乘。

双倍经验：CF678D Iterated Linear Function

小声bb：@QianXiquq这题似乎跟贪心没有关系。

转置矩阵 $\text{Matrix Transpose}$

一个矩阵的转置矩阵就是把矩阵的行列互换，形象的表示一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵 $\mathbf{\text{A}}$ 的转置矩阵，记为 ${\mathbf{\text{A}}}^T$：

$$\mathbf{\text{A}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

$${\mathbf{\text{A}}}^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

转置矩阵的性质：行列式的值不变。

转置矩阵可以用于向量点积的计算：

两个向量的点乘就是一个向量乘另一个向量的转置矩阵。

$${\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}}}_i\cdot {\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}}}_j={\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}}}_i{}^T{\overrightarrow{\mathbf{\text{x}}}}_j$$

高斯消元 $\text{Gaussian Elimination}$

相信每个人都见过和下列线性方程组类似的方程组：

$$\{\begin{array}{l}3x+5y+2z=4\\ x+y=-4\\ 5x+5y-9z=45\end{array}$$

为了好看，我们把消失的未知数系数补 $0$，无系数的写成 $1$，然后写成下面的样子：

$$\{\begin{array}{l}3x+5y+2z=4\\ 1x+1y+0z=-4\\ 5x+5y-9z=45\end{array}$$

那么，我们可以把系数写在一个 $3\times 3$ 矩阵中，剩下两样写成向量：

$$\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 2\\ 1& 1& 0\\ 5& 5& -9\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -4\\ 45\end{array}\right]$$

那么这个等式就足以表示这个方程组了。

还记得单位矩阵吗？就是那个除了对角线为 $1$ 以外全为 $0$ 的矩阵。由计算或观察得到，一个对应阶数的单位矩阵乘上一个向量等于向量自身：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$$

那么，根据以上结果，我们可以将答案矩阵放在系数矩阵的右边，成为一个增广矩阵，然后，对这个矩阵模拟加减消元法，使除对角线以外的数字为 $0$，再判断是否出现了 $0x_i=0$ 或 $0x_i\ne 0$ 的情况，就可以解出方程组了。

行列式 $\text{Determinant}$

在数学中，让我们计算的行列式一般只有 $2$ 阶和 $3$ 阶的，而数学中计算行列式的“对角线法则”也不适用于 $3$ 阶以上的行列式，那么要怎么计算高阶行列式呢？参照使用增广矩阵与高斯消元解多元一次方程的过程。仅保留此 $n$ 阶行列式的对角线，其他数均消为 $0$ ，行列式的值就是对角线的乘积。