【LeetCode】【回溯】77. 组合
【回溯】77. 组合
知识点：递归；回溯；组合；剪枝
题目描述
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
示例
输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]
解法一：回溯
这是回溯的第一道题，回溯是很经典的一个算法，什么是回溯，回溯其实是一种暴力枚举的方式，为啥都暴力了还是很经典的一种方法呢，其实是因为有些问题我们能暴力出来就不错了，就别要其他自行车了。常见的回溯类问题：组合；排列；切割；子集；棋牌；
比如最经典的排列。从1,2,3,4,5中取3个数组成排列有多少种，我们肯定会解决这种问题，但是程序怎么写呢。想一下我们解决这个问题的过程，我们先选1，然后第二个数可以选2，第三个数可以选3，这是一种答案了，然后呢，换第三个数，第三个数选4，又一种答案，再换，第三个数选5，没得选了，所以以12打头的数都选完了，得到三种答案.然后再换第二个数，第二个数选3，然后第三个数选4，注意是组合问题所以我们不能退往回选2了，不然就重复了。就是这样一种选择方案，一直到第3个数选成了3，得到答案345，就不用往后进行了。
这个过程中有递归吗？当然有啊，我们把问题缩小一点，比如123三个数字的全排列，首先1打头，得到123,132，这其实就是1+[2,3]的全排列；递归体现在这里！
你看，这其实就是一个多叉树啊！每走一步我们都要做出自己的选择，然后在该选择的基础上做下一步选择，直到这个选择达到了题目要求，然后我们放弃我们上一步做的选择，去换另外一种选择试一试。这个换掉我们上一步做的选择就是回溯的过程，也就是“撤销选择”。因为只有把上一步的选择撤销了我们才能够得到新的选择，比如123，只有把3撤销了我们才能去选择4.
回溯和递归相辅相成，前面也说过了这就是一颗树，而树就一定会用到递归。这棵树我们起了一个名字叫做决策树，每走一步都是在做一次选择一次决策，就和我们的人生一样。想象一下回溯、深度优先搜索(DFS),递归，都有一种“不撞南墙不死心" 的意思，而这个南墙就是我们的结束条件。
- 路径：记录我们做出了的选择(走过的决策树上的路径，我们一般都是在最后的叶子节点上去收集结果)；【比如我们选的123,124】;
- 选择列表：当前情况下我们可以做出的选择；【比如在第三步我们可以选3.4.5】
- 结束条件：也就是到达了决策树的底层叶子节点，选择列表为空了，无法再做出别的选择了。【比如我们的树选完了123达到题目中的要求3个元素了，就不能够再做选择了】
回溯算法的模板：
result = [] //结果集
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径) //把已经做出的选择添加到结果集；
return //一般的回溯函数返回值都是空；
for 选择 in 选择列表: //其实每个题的不同很大程度上体现在选择列表上，要注意这个列表的更新，
//比如可能是搜索起点和终点，比如可能是已经达到某个条件，比如可能已经选过了不能再选；
做选择 //把新的选择添加到路径里；路径.add(选择)
backtrack(路径, 选择列表) //递归；
撤销选择 //回溯的过程；路径.remove(选择)
核心就是for循环里的递归，在递归之前做选择，在递归之后撤销选择；
在这个过程中还有一点很重要，就是我们其实是在做两种遍历；
- 横向遍历(for):其实就是我们在不停的做着的选择；
- 纵向遍历(递归):其实就是在做完选择后面临的下一轮选择；
其实不同的情境下最大的不同就在于决策列表的更新，比如说搜索起点和终点，比如说是否已经被选过，比如说是否达到某个条件(只要求k个数或者和为目标值)；
回到本题上，本题如果画图的话就是下面的图，也就是本题对应的决策树。
- 需要有一个路径变量记录做出的选择，而且要能够撤销选择，所以可以选择栈结构；
- 每一个节点都是在做同样的事情，只不过选择列表不一样了而已，而选择列表不一样是因为开始区间不一样了(尾区间都是最后一个元素)，所以需要一个start变量来限制选择列表；
另一种角度：从遍历的角度来看决策树；
- 横向遍历(for):从左到右做决策；
- 纵向遍历(递归):在做完决策后开始下一轮决策；
class Solution {
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if(k <= 0 || k > n){
return res;
}
Stack<Integer> path = new Stack<>();
backtrack(n, k, 1, path, res); //题目中说的从1开始；
return res;
}
private void backtrack(int n, int k, int begin, Stack<Integer> path, List<List<Integer>> res){
//结束条件：收割结果；
if(path.size() == k){
res.add(new ArrayList<>(path)); //注意这里一定要新建一个；自始至终维持的是一个path；
return;
}
//遍历选择列表；
for(int i = begin; i <= n; i++){
//做选择；
path.push(i);
//递归：下一轮选择(注意选择列表的更新：选择列表变小，开始+1)；
backtrack(n, k, i+1, path, res);
//撤销选择：回溯；
path.pop();
}
}
}
解法二:剪枝优化
上述程序有优化的空间，还拿熟悉的12345举例子，我们选3个，其实选完3就不用再往后继续了，因为即使选了4，也凑不够3个数了，所以我们的选择列表是还可以优化的，也就是我们的选择起点是有上界的！
选择起点与当前还需要再选几个数有关，而当前还需要再选几个数与已经选了几个数有关，也就时path的长度有关；
比如n=6，k=4；
- path.size()=1, 那接下来还需要再选3个数，搜索起点最大是4，最后一个被选的是456；
- path.size()=3, 那接下来还需要再选1个数，搜索起点最大是6，最后一个选的是6；
所以，搜索起点的上界+接下来要选择的元素个数-1 = n；
接下来要选择的元素个数 = k-path.size();
所以搜索起点的上界 = n-(k-path.size())+1;
所以我们的i <= n 要改为 i <= n-(k-path.size())+1
下面就是我们得到的剪枝树：
class Solution {
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if(k <= 0 || k > n){
return res;
}
Stack<Integer> path = new Stack<>();
backtrack(n, k, 1, path, res); //题目中说的从1开始；
return res;
}
private void backtrack(int n, int k, int begin, Stack<Integer> path, List<List<Integer>> res){
//结束条件：收割结果；
if(path.size() == k){
res.add(new ArrayList<>(path)); //注意这里一定要新建一个；自始至终维持的是一个path；
return;
}
//遍历选择列表；
for(int i = begin; i <= n-(k-path.size())+1; i++){
//做选择；
path.push(i);
//递归：下一轮选择(注意选择列表的更新：选择列表变小，开始+1)；
backtrack(n, k, i+1, path, res);
//撤销选择：回溯；
path.pop();
}
}
}
时间复杂度：
体会
- 1.只要是涉及到做选择的，尤其是提到的五个类型：组合、排序、分割、子集、棋盘。这种都可以构建一颗决策树，那就都可以用回溯算法去解。解之前先自己把决策树画出来。
- 2.整体上套用模板，最大的不同就在于选择列表的更新，要能够根据题目中的要求来更新选择列表，比如到达某个深度了，比如和为某个值了等等；
- 3.在求和问题中，排序之后加上剪枝是很常见的操作，能够舍弃无关的操作(和已经到达某一值了，因为排过序，其后的值就更大了)；
