二分图最小顶点覆盖数=最大匹配数的证明

在二分图中，有结论：最小顶点覆盖数=最大匹配数

今天自己yy了一个证明：

首先，我们证明不存在小于最大匹配数的最小顶点覆盖数。

这是显然的，因为这些顶点根本无法覆盖所有的匹配边。

接下来证明存在等于最大匹配数的最小顶点覆盖数。

首先证明，在最大匹配中，每条匹配边连接的两个顶点a,b最多只有一个与非匹配点有连边。

用反证法：假设a与c，b与d这件都有边，且c，d都不是匹配点，则可以去掉连接a,b的匹配边，加上连接a,c和连接b,d的匹配边，是匹配数+1，这与最大匹配矛盾。

这样，我们构造这样一个顶点集合：对于每条匹配边，选择其连接的两个点中的一个（如果两个点有与非匹配点有连边的点，则选那个点；否则随便选一个）。

这个集合中有最大匹配数个点。

我们证明：这个点集能覆盖所有的边。

若一条边是匹配边，则其显然被覆盖

若一条边不是匹配边：

1）若其与某匹配顶点有连边，则该匹配顶点必在我们构造的点集中，所以该边被覆盖

2）若其连接着两个非匹配点，则可以增加这条边为匹配边，是匹配数+1，这与最大匹配矛盾，故此情况不成立

所以，这个点集能覆盖所有的边。

综上所述，在二分图中，最小顶点覆盖数=最大匹配数已得到证明。