HDOJ2512解题报告【数学】

题目地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2512

题目概述：

　　给定n张卡，求将这n张卡分为1~n堆的所有分法之和。

大致思路：

　　显然应该是数学题。

　　首先应该确定所有的分组情况，比如n=2时可以分为两组每组一张卡或一组两张卡，对于确定分组情况，我们可以用求和的方式表示，如：

　　　　4=1+1+1+1

　　　　4=2+1+1

　　　　4=2+2

　　　　4=3+1

　　　　4=4

　　可以表示n=4时的所有情况。实际上此时已经可以求出正确答案了，只需要对每种分组情况用组合数求解方案最后求和就能求出正确答案。

　　But，这样做编程复杂度高的可怕！！（反正以我的能力做不到），So我们需要简化一下我们得到的结论。

　　从简单的例子开始：

　　当n=2时，所有的方案为：        当n=3时，所有的方案为：

　　{A},{B}                             {A,C},{B}

　　　　　　　　　　　　　　　　  {A},{B,C}

           　　                              {A},{B},{C}

 

　　{A,B}  　　　　　　　　　　　{A,B,C}

      　　                                   {A,B},{C}

 

　　可以发现，对于n-1时分为两组的一个方案在n时变为了三个方案，而分为一组的一个方案在n时变为了两个方案。

 

　　记f(i,j)为将i分为j组的所有方案数，则n时的所有方案为：

      　　　　　　    

 

　　这时只需要求出f(i,j)就能求出ans(n)了。

　　考虑用递推来求f(i,j).

      　　　　　　  

　　边界条件为：f(i,1)=f(i,i)=1

 复杂度分析：

　　求f数组的复杂度为O(n²)，求ans的复杂度为O(n*T)，T为数据组数，所以总复杂度当T比n大时为O(n*T)，反之为O(n²)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define sacnf scanf
#define maxn 2010
#define inf 0x7fffff
#define Eps 0.001
#define mod 1000
void Swap(int &a,int &b) {int t=a;a=b;b=t;}
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;

int f[maxn][maxn];

void init()
{
    for(int i=1;i<=2000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(j==1||j==i) f[i][j]=1;
            else f[i][j]=(((j%mod)*f[i-1][j])%mod+f[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("data.in","r",stdin);
    //freopen("data1.out","w",stdout);
    int n,T;scanf("%d",&T);
    init();
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);int ans=0;
        for(int i=1;i<n;i++) ans=(ans+(((i+1)%mod)*(f[n-1][i]%mod))%mod)%mod;
        printf("%d\n",(n==1)?1:ans);
    }
    return 0;
}