[BZOJ1011] [HNOI2008] 遥远的行星

Description

　　直线上N颗行星，X=i处有行星i,行星J受到行星I的作用力，当且仅当i<=AJ.此时J受到作用力的大小为 Fi->j=
Mi*Mj/(j-i) 其中A为很小的常量，故直观上说每颗行星都只受到距离遥远的行星的作用。请计算每颗行星的受力
，只要结果的相对误差不超过5%即可.

Input

　　第一行两个整数N和A. 1<=N<=10^5.0.01< a < =0.35,接下来N行输入N个行星的质量Mi,保证0<=Mi<=10^7

Output

　　N行，依次输出各行星的受力情况

Sample Input

5 0.3
3
5
6
2
4

Sample Output

0.000000
0.000000
0.000000
1.968750
2.976000

HINT

　　精确结果应该为0 0 0 2 3,但样例输出的结果误差不超过5%,也算对 

Source

Solution

　　按题意模拟，复杂度是$O(an^2)$的，然而好像并没有什么优化方法

　　突破口是“误差不超过5%”这句话

　　令$i=\lfloor{aj}\rfloor$

　　对于星球$j$，我们要求的和式为$\displaystyle\sum_{k=1}^{i}\frac{m_k*m_j}{j-k}$

　　当$j$很大时，$i$也不会太大，我们可以把式子化成$\displaystyle\sum_{k=1}^{i}\frac{m_k*m_j}{j-0.5i}$

　　用$sum_i$表示前$i$个星球的质量和，那么和式可以化成$\displaystyle\frac{sum_i*m_j}{j-0.5i}$

　　这样我们就可以少用一个变量$k$，复杂度就降为了$O(n)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double m[100005], sum[100005];
int main()
{
    int n;
    double a, ans;
    scanf("%d%lf", &n, &a);
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
    {
        int i = (int)(a * j + 1e-8);
        scanf("%lf", m + j);
        ans = 0;
        if(j <= 500)
            for(int k = 1; k <= i; ++k)
                ans += m[k] * m[j] / (j - k);
        else
            ans = sum[i] * m[j] / (j - i / 2);
        printf("%f\n", ans);
        sum[j] = sum[j - 1] + m[j];
    }
    return 0;
}