坐标变换

坐标变换最通俗易懂的解释（推导+图解）_肥肥胖胖是太阳的博客-CSDN博客

绕一个轴的旋转

这里写的旋转角与标准的旋转角互为相反数，标准旋转角的定义为面向旋转轴的方向观察，顺时针为正，逆时针为负，ChatGpt给出的结果:[Chat](#Chat)

两个直角坐标系间的变换有6个自由度，分别是$X 、Y、Z$的平移和$\theta_x、\theta_y、\theta_z$三个绕轴的旋转。

以$Z$轴旋转为例，转动一个小角度,得到下列关系式：

$$\begin{array}{} X'=\frac{X}{\cos{\theta_z}}+(Y-X\tan{\theta_z})\sin(\theta_z)=X\cos{\theta_z}+Y\sin{\theta_z}\\ Y'=(Y-X\tan{\theta_z})\cos(\theta_z)=-X\sin{\theta_z}+Y\cos\theta_z\\ Z'=Z \end{array}$$

即：

$$\left[ \begin{array}{c} X'\\ Y'\\ Z'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta_ z& \sin \theta_z& 0\\ -\sin \theta_z& \cos \theta_z& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} X\\ Y\\ Z\\ \end{array} \right] =R_z \left[\begin{array}{c} X\\ Y\\ Z\\ \end{array}\right]$$

同理:

$$\ \ R_y=\left[ \begin{matrix} \cos \theta _y& 0& -\sin \theta _y\\ 0& 1& 0\\ \sin \theta _y& 0& \cos \theta _y\\\end{matrix} \right] \ \ R_x=\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& \cos \theta _x& \sin \theta _x\\ 0& -\sin \theta _x& \cos \theta _x\\\end{matrix} \right]$$

则坐标变化的公式为：

$$\left[ \begin{array}{c} X'\\ Y'\\ Z'\\ \end{array} \right] =R_x R_y R_z \left[\begin{array}{c} X\\ Y\\ Z\\ \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array}\right]$$

任意两个坐标系之间的旋转平移

Drawing 2023-04-14 20.19.22.excalidraw

先考虑两个坐标系之间的旋转关系，再考虑平移就十分简单了。
正交坐标系$O$中，三个正交的单位向量：$e_x,e_y,e_z$
正交坐标系$O'$中，三个正交的单位向量：$e_{x'},e_{y'},e_{z'}$
则，一定可以用$e_x,e_y,e_z$来表示$e_{x'},e_{y'},e_{z'}$。(注意：向量符号的表示与坐标系无关) ，即：

$$\begin{bmatrix} e_x'\\ e_y' \\e_z' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_x\\ e_y \\e_z \end{bmatrix} =R \begin{bmatrix} e_x\\ e_y \\e_z \end{bmatrix}$$

其中，旋转矩阵中的系数是O'坐标轴向O坐标轴的投影
已知$P(x,y,z)$，即$\vec{OP}=xe_x +ye_y+ze_z$，易证：

$$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\z' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z \end{bmatrix} =R \begin{bmatrix} x\\ y \\z \end{bmatrix}$$

加上平移矩阵：

$$\begin{bmatrix} x'\\ y' \\z' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_0\\ y_0 \\ z_0 \end{bmatrix} =R \begin{bmatrix} x\\ y \\z \end{bmatrix}+T$$

Chat

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如何根据旋转、俯仰和偏航角确定旋转矩阵

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旋转、俯仰和偏航角通常用于描述飞行器或机器人在三维空间中的朝向。根据欧拉角的定义，旋转、俯仰和偏航角分别是绕$Z$轴、$Y$轴和$X$轴的旋转角度。因此，可以通过以下步骤确定旋转矩阵：

1. 绕$Z$轴旋转$\theta$角度，得到旋转矩阵$R_z$：

$$R_z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

2. 绕$Y$轴旋转$\phi$角度，得到旋转矩阵$R_y$：

$$R_y = \begin{bmatrix} \cos\phi & 0 & \sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\phi & 0 & \cos\phi \end{bmatrix}$$

3. 绕$X$轴旋转$\psi$角度，得到旋转矩阵$R_x$：

$$R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\psi & -\sin\psi \\ 0 & \sin\psi & \cos\psi \end{bmatrix}$$

4. 将三个旋转矩阵按照$Z-Y-X$的顺序相乘，得到最终的旋转矩阵$R$：

$$R = R_x R_y R_z = \begin{bmatrix} \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi\sin\psi - \sin\theta\cos\psi & \cos\theta\sin\phi\cos\psi + \sin\theta\sin\psi \\ \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi\sin\psi + \cos \theta\cos\psi & \sin\theta\sin\phi\cos\psi - \cos\theta\sin\psi \\ -\sin\phi & \cos\phi\sin\psi & \cos\phi\cos\psi \end{bmatrix}$$

这个旋转矩阵$R$描述了从一个坐标系到另一个坐标系的旋转变换。例如，如果一个向量$v$在原始坐标系中的坐标是$(x,y,z)$，那么在新的坐标系中的坐标$v'$可以通过以下公式计算：

$$v' = Rv$$

其中，$v$和$v'$都是列向量。

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