随笔档案

问题形式：

考虑一个 $n\times m$ 的矩阵 $A$ ，我们有一个算法：输入长度为 $m$ 的向量 $b$ ，可以利用这个算法得到 $A\times b$ 的结果：一个长度为 $n$ 的向量 $a$ 。

如果在这个算法过程中，对输入的修改都是线性修改，那么转置原理断言：存在一个复杂度相同的算法，使得，输入长度为 $n$ 的向量 $a$ ，可以得到 $A^{T}\times a$ 的结果：一个长度为 $m$ 的向量 $b$ 。

需要注意是，这个东西，并不是反解方程的结果啊，前后两次的 $a,b$ 没啥关系。

解决方案

考虑所有和输入有关的项，其它项就都应该成为常数项：换言之它们在输入之前就应该预先处理完毕。

此时原问题的每一步骤，都应该是对输入的线性修改。

因为是线性修改，所以可以看成，将输入数据左乘上了一个矩阵。

换言之 $A\times b$ 应该可以分解成 $A_k\times ... \times A_1 b$ ，每一个 $A_i$ 都对应了算法流程中的一个操作。

我们知道 $A^T=A_1^T\times ... \times A_k^T$ ，而每一个 $A_i$ 本质上，是对输入数据的一些操作。

那么你倒着做原算法的操作，并且每一步操作，都“做原操作的转置”，就可以得到答案。

什么叫做原操作的转置？我们举一些例子（事实上转置原理这部分，你都可以把操作写成矩阵形式，然后把矩阵转置一下就行）。

例如： $a_i\leftarrow a_i + c\times a_j$ 。

写成矩阵的形式：

[\begin{array}{ll} 1 & c \\ 0 & 1 \end{array}] \times [\begin{array}{ll} a_{i} \\ a_{j} \end{array}] = [\begin{array}{ll} a_{i} + c \times a_{j} \\ a_{j} \end{array}]

$\left[ \begin{array}{ll} 1 & c \\ 0 & 1 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{ll} a_i \\ a_j \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} a_i+c\times a_j \\ a_j \end{array} \right]$

然后把最左边的 $2\times 2$ 矩阵转置，重新做乘法，就得到： $a_j\leftarrow c\times a_i+a_j$ 。

那你就得到了 $a_i\leftarrow a_i+c\times a_j$ 这个操作对应的转置。

卷积不是线性的，但是如果两个相乘的数组，一个是确定的，那么就可以认为是线性的。从线性代数的角度来看，无非就是：

[\begin{array}{ll} c_{0} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1} & c_{0} & 0 & 0 \\ c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 \\ c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} \end{array}] \times [\begin{array}{ll} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ll} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}]

$\left[ \begin{array}{ll} c_0 & 0 & 0 & 0 \\ c_1 & c_0 & 0 & 0 \\ c_2 & c_1 & c_0 & 0 \\ c_3 & c_2 & c_1 & c_0 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{ll} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right]$

这个乘法等价于卷积： $a_i=\sum_{j\le i}b_j\times c_{i-j}$ 。

[\begin{array}{ll} c_{0} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ 0 & c_{0} & c_{1} & c_{2} \\ 0 & 0 & c_{0} & c_{1} \\ 0 & 0 & 0 & c_{0} \end{array}] \times [\begin{array}{ll} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ll} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}]

$\left[ \begin{array}{ll} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ 0 & c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & c_0 & c_1 \\ 0 & 0 & 0 & c_0 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{ll} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right]$

这个运算就等价于 $b_i=\sum_{j\ge i}c_{j-i}\times a_j$ 。