基础数学知识

我发现我好菜啊，带点正经数学的东西就会寄...

1. 三角函数：

1.1 三角函数的定义：

首先是锐角三角函数：

定义：

• \(\sin \theta=\frac{a}{c}\)，即“对边比斜边”。

• \(\cos \theta=\frac{b}{c}\)，即“邻边比斜边”。

• \(\tan \theta=\frac{a}{b}\)，即“对边比邻边”。

我们可以把三角函数扩充到任意角：

我们把角放在单位圆（半径为 \(1\) 的圆）上。

然后角 \(\theta\) 的上面那条射线，和单位圆的交点，我们记作 \(A(x,y)\)，那么 \(\sin \theta=y,\cos \theta=x,\tan \theta=\frac{y}{x}\)。

1.2 常用的三角函数值：

不多说了，贴图：

1.3 三角函数的性质与运算：

1.3.1

根据三角函数的定义可知，\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)，另外，\(\sin -\theta=-\sin \theta,\cos -\theta=\cos \theta\)。

另外，根据勾股定理可得（看上面的图那个单位圆）：\(\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1\)。

1.3.2 诱导公式

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”（都被玩烂了...）

来解释一下含义，就是研究 \(\frac{k\pi}{2}+\theta\) 的三角函数和 \(\theta\) 的三角函数之间的关系。

• 奇变偶不变：当 \(k\) 是奇数，那么如果以前是 \(\sin \theta\)，就会等于 \(\cos \frac{k\pi}{2}+\theta\)，反之亦然。

• 符号看象限：我们默认 \(\theta\) 为第一象限角，然后看它转 \(\frac{k\pi}{2}\) 度后所在的那个象限。比如说如果是 \(\sin\)，然后 \(k=2\)，那么最后在第一象限，纵坐标是相反的，所以有 \(\sin \pi+\theta=-\sin \theta\)。

这两条结合在一起，前半部分决定 \(+\frac{k\pi}{2}\) 后是 \(\sin\) 还是 \(\cos\)，后半部分决定符号。

1.3.3 和差角公式：

我老是背了又忘...直接放公式吧：

• \(\sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)。

• \(\cos (\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)。

• \(\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}\)。

这三个只能记了，没有别的方法，刷熟练度。至于差角，把 \(-\beta\) 看作 \(+(-\beta)\) 然后根据 1.3.1 去套和角公式就好（不用记符号的变化了嘿嘿）。

有了这个你可以做一道水题：区间加区间sin和

1.4 三角形上的三角函数：

对于 \(\triangle ABC\)，我们记角 \(A,B,C\) 的对边分别为 \(a,b,c\)。

• \(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\cdot \sin C\)。

• 正弦定理： \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)，其中 \(R\) 是 \(\triangle ABC\) 的外接圆半径。

• 余弦定理： \(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A\)（变形：\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)）。

2. 向量：

2.1 基本性质：

\(\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}\)（通过 \(\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}\) 得到）

判定两向量共线：两向量 \(\alpha,\beta\) 共线，当且仅当，存在实数 \(\lambda\)，满足 \(\alpha=\lambda\beta\)。

判定三点共线：三点 \(A,B,C\) 共线，当且仅当，存在实数 \(\lambda\)，满足 \(\vec{OA}=\lambda\vec{OB}+(1-\lambda)\vec{OC}\)。

平面向量基本定理：一个平面上，两个不共线的向量的线性组合可以表示出该平面上全体向量，这两个向量称为该平面上的一组基（其实是线代的基本理论吧）。

如果两个平面向量垂直，那么他们正交。用一组正交向量构成积去表示向量，就是正交分解。

我们可以用 \([a,b]\) 表示一个从 \((0,0)\rightarrow (a,b)\) 的平面向量，显然平面上向量和实数对一一对应。

2.2 向量乘法：

2.2.1 向量点乘（内积）：

定义 \(a=[a_1,a_2],b=[b_1,b_2]\)，则向量点积定义为 \(a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2\)，我们发现内积是一个标量，不是一个向量。

有趣的是，点积还有一种写法：\(a\cdot b=|a||b|\cdot \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是 \(a,b\) 两向量夹角。

换言之我们得到 \(a_1b_1+a_2b_2=|a||b|\cdot \cos \theta\)。所以我们有时候求 \(\cos \theta\)，可以尝试把 \(\theta\) 写成两个向量的夹角。

向量的内积是有几何意义的：\(a\cdot b\) 的几何意义是向量 \(a\) 在向量 \(b\) 上的投影乘上向量 \(b\) 的模长（或向量 \(b\) 在向量 \(a\) 上的投影乘上向量 \(a\) 的模长）。什么叫投影：

\(c\) （注意 \(c\) 是个标量）就是 \(b\) 在 \(a\) 上的投影。

那么我们注意到 \(\cos \theta=\frac{c}{|b|}\)，所以 \(c=|b|\cos \theta\)。那么 \(a\cdot b=|a||b|\cos \theta\) 就是 \(a\) 的模长乘上 \(b\) 在 \(a\) 上的投影。

我们发现研究投影的正负，可以判断夹角 \(\theta\) 是锐角、直角、还是钝角，而 \(|b|\) 是正数，乘上后不影响正负性质，换言之我们可以直接通过 \(a\cdot b\) 的值判断 \(a,b\) 夹角 \(\theta\) 的类别：

• \(a\cdot b\gt 0\Leftrightarrow 0\lt \theta\lt \frac{\pi}{2}\)。

• \(a\cdot b=0\Leftrightarrow \theta=\frac{\pi}{2}\)。

• \(a\cdot b\lt 0\Leftrightarrow \frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \pi\)。

另外，通过向量点乘可以推出 \((\vec{c})^2=|\vec{c}|^2\)，即向量平方数值上就是模长平方。

2.2.2 向量叉乘（外积）：

感觉这个以我水平理解还是有点困难。

定义向量叉积 \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\)。\(\vec{c}\) 的模长是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所围成的平行四边形面积，即 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cdot\sin \theta\)。

\(\vec{c}\) 会与 \(a,b\) 所在平面垂直（因为都从原点出发，所以不可能异面）。而具体那个方向是遵守右手法则的。就是右手四根手指对向 \(\vec{a}\)，然后你看能否通过弯曲让这四根手指弯向 \(\vec{b}\)，如果不行就把手上下转一下。最后拇指朝向的方向就是叉积向量的方向。

内积的运算，该有的乘法运算律都满足，而叉积不一样：

• \(\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}\)。

• \(\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}\)。

• \((\lambda\vec{a})\times \vec{b}=\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\times(\lambda\vec{b})\)。

发现没有结合律，特别需要注意。
另外，还有一个著名的性质：

\(\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{0}\)。

好像研究代数结构的时候这个性质很有用。先咕了。

另外我们来讲讲怎么计算叉乘（三维向量）：

就是我们设 \(x,y,z\) 方向的单位向量是 \(i,j,k\)，那么实际上就是计算行列式：

\(\left |\begin{array}{cccc} i &j &k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{array}\right|=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k\)。

然后这个东西可以自然地放在二维去考虑：\(\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}|\vec{b}|\cdot \sin \theta\) 是我们众所周知的，但是这不意味着二维向量叉乘得到的就是标量，它本质上还是一个向量：只不过两个向量的第三维都为 \(0\)，所以得到的结果向量的前两维都是 \(0\)，所以那个虚假的标量实际上代表的是结果向量的 \(z\) 坐标（而 \(x,y\) 坐标就是 \((0,0)\)）。

3. 矩阵

基础的矩阵加法、乘法，还有高斯消元的内容不再赘述。

3.1. 左行右列定理：

首先，一般地我们记 \(n\) 阶单位矩阵为 \(I_{n}\)。考虑一个 \(n\times m\) 矩阵 \(A\)，容易发现，\(I_n\times A=A\times I_{m}=A\)。

我们考虑一个矩阵 \(A\)：

\[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \end{array}\right) \]

我们已经知道了它左边乘上 \(I_{2}\)，或者右边乘上 \(I_{3}\)，得到的还是 \(A\)。我们现在把 \(I_{2}\) 的两行交换一下，然后左乘 \(A\)，看看会发生什么事情：

\[\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll}5 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right)\]

我们发现，结果矩阵中，\(A\) 的两行也被交换了。我们再把 \(I_{3}\) 的前两列交换，然后右乘 \(A\)：

\[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \end{array}\right)\]

我们发现，结果矩阵中，\(A\) 的前两列被交换了。

发现了没有，乘上单位矩阵是不变的，当我交换单位矩阵的行/列的时候，结果矩阵也变成了 \(A\) 交换行/列的结果。

我们还可以进行类似的尝试，比如把单位矩阵上某个 \(1\) 改为 \(\lambda\)，然后左乘 \(A\)，那么你会发现对应行是原来 \(A\) 中这一行的 \(\lambda\) 倍。或者说在第 \(2\) 行第 \(1\) 列也写上一个 \(1\)，变成 \(\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\) 然后左乘 \(A\)，那么我们会发现第一行还是 \(A\) 的第一行，而第二行变成了原本 \(A\) 的第一行加上第二行。

我们可以根据矩阵乘法的定义得到结论，当 \(A\) 左乘一个矩阵后，结果矩阵的每一行，都是 \(A\) 的各行的线性组合；同理当 \(A\) 右乘一个矩阵后，结果矩阵的每一列，都是 \(A\) 的各列的线性组合，也就是所谓的“左行右列”定理。我们试举一个例子，更好地说明这个事实（这个定理非常重要，一定要理解）：

设 \(A=\left(\begin{array}{ll}1&1&4\\5&1&4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ll}1&9\\1&9\\8&10\end{array}\right)\)，那么考虑 \(A\times B\) 的结果：

\[\left(\begin{array}{ll}34&58\\38&94 \end{array}\right) \]

结果的第一行满足：

\[\left(\begin{array}{ll}34&58\end{array}\right)= 1\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +1\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +4\times \left(\begin{array}{ll}8&10\end{array}\right)\]

同理，结果的第二行满足：

\[\left(\begin{array}{ll}38&94\end{array}\right)= 5\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +1\times \left(\begin{array}{ll}1&9\end{array}\right) +4\times \left(\begin{array}{ll}8&10\end{array}\right)\]

换言之，如果 \(A\) 有 \(n\) 行，结果矩阵 \(C\) 就有 \(n\) 行，而第 \(i\) 行就是以 \(A_{i,1},A_{i,2},...,A_{i,m}\) 为权的 \(B\) 的 \(m\) 个行向量的线性组合。
同理，如果 \(B\) 有 \(p\) 列，结果矩阵 \(C\) 就有 \(p\) 列，而第 \(i\) 列就是以 \(B_{1,i},B_{2,i},...,B_{m,i}\) 为权的 \(A\) 的 \(m\) 个列向量的线性组合。

“左行右列”是我们理解矩阵乘法的又一种方式。

我们回到初等行（列）变换，我们发现，一个矩阵 \(A\) 经过一次初等行变换得到的矩阵 \(B\)，那么 \(B\) 的每一行显然可以都表示成 \(A\) 的行向量线性组合。同理如果矩阵 \(A\) 经过一次初等列变换得到的矩阵 \(B\)，那么 \(B\) 的每一列都可以分别表示成 \(A\) 的所有列向量的线性组合。

所以我们可以通过 \(A\leftarrow C\times A\) 的方法，对 \(A\) 进行行变换。同理可以通过 \(A\leftarrow A\times C\) 的方法对其进行列变换。接下来我们仅讨论行变换：

首先，设 \(A\) 为 \(n\) 行 \(m\) 列，那么 \(C\) 应该基于 \(I_{n}\) 得到。如果我们想让 \(A\) 进行一次行变换，我们把这个行变换执行在 \(C\) 上然后去左乘 \(A\) 即可。

这样，我们设执行 \(k\) 次，每次的矩阵分别为 \(C_1,C_2,...,C_p\)，那么 \(A\) 可以通过 \(p\) 次矩阵乘法实现 \(p\) 次初等行变换：

\[C_p\times (...\times(C_2\times(C_1\times A))) \]

矩阵乘法具有结合律，可以重新改写成：

\[(C_p\times (C_{p-1}\times(...\times(C_2\times C_1))\times A \]

左乘一个 \(C_i\)，相当于对被乘矩阵执行一次第 \(i\) 次的行变换。所以上式中那 \(p\) 个矩阵的乘积，相当于单位矩阵，依次执行 \(p\) 次行变换的结果。

说白了就是我们乘矩阵不一定只能达到“一次行变换”的效果，它可以拓展的，不管对 \(A\) 进行多少次初等行变换，你直接按操作的顺序，在 \(C=I_{n}\) 上执行相同的变换，最后 \(A\leftarrow C\times A\) 就是行变换后的结果。

这个技巧在 矩阵求逆 模板中就有用到。

应用：利用“左行右列”证明 \((AB)^{T}=B^T\times A^T\)：

我们知道，转置的意思是，\(A\) 的第 \(i\) 行变成 \(A^T\) 的第 \(i\) 列，\(A\) 的第 \(i\) 列变成 \(A^T\) 的第 \(i\) 行。同时有 \((A^T)^T=A,(A+B)^T=A^T+B^T,(\lambda A)^T=\lambda(A^T)\) 三个性质成立，但是多个矩阵乘积的转置是不能直接拆开来的，它是倒过来的：\((\prod_{i=1}^{n}A_{i})^T=\prod_{i=n}^{1}A_{i}^T\)，为了证明这个，我们只需要证明 \((AB)^T=B^T\times A^T\)，然后利用矩阵乘法的结合律就可以推广了。

我们考虑研究 \((AB)^T\) 和 \(B^T\times A^T\) 的每一行是否相等，因为我们容易证明它们至少大小是一致的。

根据左行右列定理：\((AB)^T\) 的第 \(i\) 行 \(\Leftrightarrow\) \(AB\) 的第 \(i\) 列 \(\Leftrightarrow\) 以 \(B\) 的第 \(i\) 列为权，\(A\) 的各列的线性组合。

而 \(B^T\times A^T\) 的第 \(i\) 行 \(\Leftrightarrow\) 以 \(B^T\) 的第 \(i\) 行为权，\(A^T\) 各行的线性组合 $\Leftrightarrow $ 以 \(B\) 的第 \(i\) 列为权，\(A\) 的各列的线性组合。

所以 \((AB)^T\) 和 \(B^T\times A^T\) 的每一行都是相等的，它们自然相等。