洛谷P1045 麦森数。 快速幂算法以及固定位数的高精度乘法的优化
P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
想法很简单,我们要做的就是两件事,求2^P-1的位数,求出2^P-1的最后500位数,也就是低五百位,500位想一想常规类型肯定存不下,int到10^9,long long 到10^18,于是只能用高精度乘法来算阶乘
- 第一步,可以不用通过求出所有2^P-1的数然后记录位数来得出其位数,给出几个例子
1000为四位数,位数=lg1000+1=3+1=4,同理对于5486,位数=int(lg5486)+1=4,所以对于一个数,只需要求他对10的对数值加上1就是其位数,对于这次的2^P-1,可以知道其尾数必为2的倍数,(0除外),因此2^P-1的位数即2^P的位数
于是其位数=int(lg(2^P))+1=int(P*lg2)+1,这样看来只需要调用cmath头文件里的lg10函数求出lg2就可以直接得出位数
2. 第二步,求出其后500位, 这里应用高精度乘法,但是由于只需要求500位,高于500位的数字其实并不用去关注,直接丢掉即可
const int MAX = 500; typedef long long LL;//不用long long会爆掉的 void Big_Mul(LL* ans, LL* Base) { LL C[MAX] = { 0 }; for (int i = 0; i < MAX; i++) { for (int j = 0; j < MAX; j++) { if(i+j<MAX)//高于500位直接舍弃 C[i + j] += ans[i] * Base[j]; } }
//下面是逐个位进位处理
//方便起见我们不设置进制位,而是让后一位数加上前一位数的进位值,然后前一位数舍弃其进位值来实现逐位进位 for (int i = 0; i <MAX-1; i++) { C[i + 1] = C[i + 1] + C[i]/10; C[i] %= 10;//舍弃进位值 } C[MAX - 1] %= 10;//舍弃最大为的进位值,因为只需要后五百位,多的位数不需要 for (int i = 0; i < MAX; i++) ans[i] = C[i];//拷贝 }
只有高精度乘法,然后朴素乘方的话会TLE的,因此还要配合快速幂来加速
下面给出完整代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; const int MAX = 500; typedef long long LL; void Big_Mul(LL* ans, LL* Base) { LL C[MAX] = { 0 }; for (int i = 0; i < MAX; i++) { for (int j = 0; j < MAX; j++) { if(i+j<MAX) C[i + j] += ans[i] * Base[j]; } } for (int i = 0; i <MAX-1; i++) { C[i + 1] = C[i + 1] + C[i]/10; C[i] %= 10; } C[MAX - 1] %= 10; for (int i = 0; i < MAX; i++) ans[i] = C[i]; } int main() { int p; cin >> p; cout << int(log10(2.0) * p +1)<< endl;//求出位数并输出 LL ans[MAX] = { 0 }; LL Base[MAX] = { 0 };//高精度数组初始化 ans[0] = 1;//结果存储 Base[0] = 2;//基数也就是底数 while (p)//快速幂 { if (p & 1) Big_Mul(ans, Base); Big_Mul(Base, Base);//可以看到就是将快速幂里的乘法变为了高精度乘法 p >>= 1; } ans[0]--;//求出2^P-1 for (int i = 499; i >= 0; i--)//逆序输出500位 { cout << ans[i]; if(i%50==0)//每50位换行 cout << endl; } return 0; }