摘要：
题意：求有多少对 \((a,b)\) 满足 \(b \times \gcd(a,b) \equiv 0 \pmod{a+b},1 \le a \le n,1 \le b \le m\)。 首先我们设 \(\gcd(a,b) = G,a=i \times G,b = j \times G\)，显然有 阅读全文
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题意：给定 \(n\)，以及 \(m\) 对 \((a_i,b_i)\)，你需要构造一个 \(n \times n\) 的 \(01\) 矩阵使得每行每列都恰好有 \(m\) 个数为 \(1\)，且 \((a_i,b_i)\) 的位置上的数必须为 \(1\)。 首先我们考虑 \(m=1\) 的情况， 阅读全文
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题意：给定 \(n(n \le 10^6)\) 和 \(k(k \le n)\)。构造一个长度小于等于 \(25\) 的序列 \(a\) 满足： 1. 不存在一个子序列的和为 \(k\)。 2. 对于 \(1 \le i \le n,i \ne k\)，存在一个子序列的和为 \(i\)。 看到长度为 阅读全文
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原题链接：P10371。 首先我们设 \(l_{i,0/1}\) 表示 \(i\) 左边的第一，二个比 \(a_i\) 大的数的位置。\(r_{i,0/1}\) 同理。 考虑一个区间 \([L,R]\) 在什么时候满足条件，设 \(p,q\) 分别为区间中最大 / 次大值的位置，我们分三种情况讨论。 阅读全文
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题意：求一棵 \(n\) 个节点的有根二叉树的叶子节点的期望个数。 设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的二叉树个数，\(g_n\) 表示 \(n\) 个点的所有二叉树的叶子节点数之和。 显然 \(f_n\) 为 \(\text{Catalan}\) 数，考虑如何求 \(g_n\)。一个结论是 阅读全文
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题意：一个长度为 \(n\) 的排列合法当且仅当逆序对数为 \(k\)，且一个排列的价值定义为 \(\sum a_i \times i\)。给定 \(n\) 和 \(k\)，求出所有合法排列的价值和。 容易想到 \(\text{dp}\)。 会发现如果直接 \(\text{dp}\) 的话，每一个位 阅读全文
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题意：给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每个点的初始颜色为 \(0\)。一次操作是将一条边的两个端点的颜色翻转。求是否能通过若干次操作使得最终有 \(k\) 个颜色为 \(1\) 的点。 首先考虑什么情况下无解。会发现每一次操作，颜色为 \(1\) 的点的数量变化一定是 \([0 阅读全文
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题意：求有多少个排列满足：对于每一个 \(2 \le i \le n\)，\(a_i > a_{\frac{i}{2}}\)。 首先我们会发现这些数之间的大小关系形成了一个完全二叉树，因为每一个 \(a_i\) 都必须小于 \(a_{2\times i}\) 和 \(a_{2 \times i + 阅读全文
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题意：给定一个由数字和加号和乘号组成的字符串，求出 \(\sum s(i,j)\)。其中 \(s(i,j)\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 字符组成的表达式的值。 考虑 \(\text{dp}\)。 设 \(dp_{i}\) 表示以 \(i\) 为起点的所有表达式的值之和。那么我们考虑以一些加 阅读全文
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很巧妙的一道题。 首先会发现如果最终 \(\varphi(N)=1\) 的话一定是通过很多次从 \(2\) 这个因子变到 \(1\) 的。而这个函数每迭代一次，就会有且仅有一个 \(2\) 的因子变为 \(1\)。所以题目转化为了求 \(N\) 在函数迭代过程中一共会产生多少个 \(2\) 的因子。 阅读全文