qoj9230 Routing K-Codes 题解

首先这个图肯定不能有环，也不能有度数大于 \(3\) 的点。

也就是说这是一颗二叉树。我们假设父亲都比儿子小，根节点的值最小。

那么假设 \(u\) 点的值为 \(x\)，它的儿子的值一定是 \(\{2x,2x+1\}\) 的子集。会发现 \(u\) 的子树内的权值和是一个关于 \(x\) 的一次函数。而且无论两个儿子中哪个取 \(2x\)，哪个取 \(2x+1\)，这个函数的斜率 \(k\) 都是不变的，影响的只是常数 \(b\) 的值。（这个可以手推验证一下）。于是我们就可以 dp 了。

设 \(dp_u=(k,b)\) 表示当 \(u\) 的值为 \(x\) 时，子树内的权值和最少为 \(kx+b\)（\(k\) 一定，其实最小化的是 \(b\)）。转移很简单，分类讨论哪个儿子为 \(2x\)，哪个为 \(2x+1\) 即可。然后换根一下就可以求出以每个点为根时的 dp 值了。

当 \(u\) 为根时，如果 \(u\) 的度数为 \(1\)，那么 \(x=0\)。否则 \(x=1\)。再带入 \(k,b\) 就可以计算答案了。

需要注意 \(x < 2^{32}\)，也就是深度不能超过 \(32\)，需要判一下。