CF1966D Missing Subsequence Sum 题解

题意：给定 \(n(n \le 10^6)\) 和 \(k(k \le n)\)。构造一个长度小于等于 \(25\) 的序列 \(a\) 满足：
1. 不存在一个子序列的和为 \(k\)。
2. 对于 \(1 \le i \le n,i \ne k\)，存在一个子序列的和为 \(i\)。

看到长度为 \(25\)，首先肯定会想到二进制。那么我们先构造出一个序列 \([2^0,2^1,\dots,2^{19}]\)，会发现这样一定可以表示出所有 \(1\) 到 \(n\) 的数。但是要求不能表示出 \(k\)，所以我们把 \(2^p\) 删掉，其中 \(p\) 是 \(k\) 的最高位，这样就一定表示不出 \(k\) 了。

删掉之后会出现一个问题，除了 \(k\) 之外第 \(p\) 位为 \(1\) 的数也不能表示出来了，考虑如何解决。

一个结论是：再加上 \(k-2^p,k+1,k+1+2^p\) 这三个数，最终的序列一定合法。

\(\text{Prove}\)：

• \(1 \le i \le k-2_p\)
  因为 \(k - 2_p \le 2^{p}-1\)，所以直接用 \([2^0,2^1,\dots,2^{p-1}]\) 表示即可。
• \(k-2^{p} < i \le k-1\)
  先将 \(i\) 减去 \(k-2^{p}\)，因为 \(i-(k-2_p) \le 2^{p}-1\)，所以剩下的直接用 \([2^0,2^1,\dots,2^{p-1}]\) 表示即可。
• \(i=k\)
  所有小于等于 \(k\) 的数的和才 \(k-1\)，显然表示不出 \(k\)。
• \(k+1 \le i \le n\)
  先将 \(i\) 减去 \(k+1\)，如果减完之后 \(i\) 的第 \(p\) 位是 \(1\) 的话就改为减 \(k+1+2^p\)。这样减完之后的 \(i\) 的第 \(p\) 位一定为 \(0\)，所以一定能表示出来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int T,n,k,ans[100];
signed main() {
	cin >> T;
	while(T--) {
		cin >> n >> k;
		int p = __lg(k),tot = 0;
		for(int i = 0;i <= 19;i++)
			if(i != p) ans[++tot] = (1ll << i);
		ans[++tot] = k - (1ll << p);
		ans[++tot] = k + 1;
		ans[++tot] = k + 1 + (1ll << p);
		cout << tot << endl;
		for(int i = 1;i <= tot;i++) 
			cout << ans[i] << " ";
		cout << endl; 
	}
	return 0;
}