CF1905D Cyclic MEX 题解

题意：给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)，\(a_i \in [0,n-1]\)。你可以将这个排列进行循环移位，最小化 \(\sum_{i=1}^{n} \text{mex}_{j=1}^i a_j\) 的值。

首先我们可以先计算出最初情况下每一个 \(i\) 位置的 \(\text{mex}\) 值。这个序列一定是单调非严格递增的。

首先有一个比较显然的 \(\text{Trick}\)：\(\text{mex}_{j=1}^{i}a_j=\min_{j=i+1}^n a_j\)。

考虑将 \(a_1\) 循环移到第 \(n\) 位后会有什么影响。首先所有位置的 \(\text{mex}\) 值都要向左移动一位，第 \(n\) 位的值一定还是 \(n\)。对于现在 \(1\) 到 \(i-1\) 位上的值，因为第 \(n\) 位上的值变为了 \(a_1\)，而原来这些位置并没有算上 \(a_1\) 对他们的贡献，所以这些位置上的值都要和 \(a_1\) 取 \(\min\)。

上述过程可以用单调队列维护。具体的，每次循环移位需要执行以下几步操作：

• 将 \(a_1\)（队首）弹出。

• 将队尾大于 \(a_1\) 的数弹出，并在队尾插入相等数量的 \(a_1\)。

• 在队尾插入 \(n\)。

为了保证 \(O(n)\) 的时间复杂度，我们不用插入相同的数，而是直接记录这个数的数量即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair <int,int> pii;
const int MAXN = 1e6 + 10;
typedef pair <int,int> pii;
deque <pii> q;
int t,n,a[MAXN],mex[MAXN],ans,sum;
signed main()
{
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		while(!q.empty()) q.pop_front();
		cin >> n;
		for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
		for(int i = 1;i <= n + 1;i++) mex[i] = 1e18;
		mex[n] = n;
		for(int i = n;i >= 1;i--) mex[i - 1] = min(mex[i],a[i]); 
		mex[0] = -1;ans = 0;
		for(int i = 1;i <= n;i++)
		{
			if(mex[i] != mex[i - 1]) q.push_back(make_pair(mex[i],1));
			else 
			{
				pii tmp = make_pair(q.back().first,q.back().second + 1);
				q.pop_back(),q.push_back(tmp);
			}
			ans += mex[i];
		}
		sum = ans;
		for(int i = 1;i < n;i++)
		{
			sum -= q.front().first;
			if(q.front().second == 1) q.pop_front();
			else q.front().second--;	
			int num = 0;
			while(!q.empty() && q.back().first > a[i]) 
			{
				sum -= q.back().first * q.back().second;
				num += q.back().second;
				q.pop_back();
			}
			sum += n,sum += num * a[i];
			q.push_back(make_pair(a[i],num));
			q.push_back(make_pair(n,1));
			ans = max(ans,sum);
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}