poker 题解

原题链接：poker

赛时只有 \(40\) 分，改完之后感觉是一道好题，于是就来写篇题解。

题意

有 \(k\) 张扑克牌，\(n\) 种数字，每张牌都有两面，每一面分别写了一个数字，你可以选择打出这张牌的任意一面，但是不能两面同时打，也可以选择不打这张牌。有 \(q\) 个询问，每个询问给定 \(l\) 和 \(r\)，判断能否打出 \(l\) 到 \(r\) 的顺子。

数据范围：\(n,k,q<=10^{6}\)。

思路

很容易想到暴力做法，每次 \(O(k)\) 扫一遍，贪心的去选择，时间复杂度 \(O(kq)\)。

考虑如何优化。这道题优化的方法是图论建模。对于每一张牌的两个面的数字 \(u\) 和 \(v\)，连一条从 \(u\) 到 \(v\) 的边。这样就有了若干个连通块。这时我们会发现一些性质：对于一个大小为 \(N\) 的连通块来说，如果其中的边数 \(>=N\)，那么一定可以一次性打出连通块中所有的牌；如果边数\(=N-1\)，那么一定不能一次性打出连通块中所有的牌。边数为 \(N-1\) 其实就是一棵树。

我们先用并查集找出所有的树，记录一下 \(father\) 和 \(size\) 就行了。然后对于每一棵树，记 \(l\) 表示树中最小的数字，\(r\) 表示树中最大的数字。然后每一棵树都构造一条从 \(l\) 到 \(r\) 的约束线段，只要询问中的线段包含了任意一条约束线段，那么就是不合法的，因为一次性一定打不出约束线段中的每一个数字，证明见上。

于是现在问题转化成了给定若干条约束线段，询问 \(l\) 到 \(r\) 这条线段是否包含了任意一条约束线段。首先我们可以将约束线段按照右端点排序，将询问线段也按照右端点排序。动态维护一个变量 \(maxl\) 表示右端点小于当前询问线段的所有约束线段中，左端点的最大值。这样只要当前询问线段的左端点 \(<=maxl\) 的话，那么就包含了一条约束线段，是不合法的。反之则是合法的，时间复杂度 \(O(q+k)\)，因为用了排序，总时间复杂度 \(O((q+k) \log (q+k))\)，可以通过。当然最后一步也可以用树状数组，线段树或者扫描线来维护，但是比较麻烦。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define inf_db 127
#define ls id << 1
#define rs id << 1 | 1
#define re register
typedef pair <int,int> pii;
const int MAXN = 1e6 + 10;
int n, k, u, v, fa[MAXN], Q, cnt, tmp = 1, deg[MAXN], to[MAXN], ans[MAXN];
pii sz[MAXN];
bool flag[MAXN];
int find(int x)
{
	if(x == fa[x]) return x;
	return fa[x] = find(fa[x]);
}
struct line
{
	int l, r, id;
}a[MAXN];
inline bool Cmp(line x, line y)
{
	if(x.r == y.r) return (x.l != y.l ? x.l > y.l : x.id < y.id);
	return x.r < y.r;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld", &n, &k);
	for(int i = 1;i <= n;i++) fa[i] = i;
	for(int i = 1;i <= k;i++)
	{
		scanf("%lld%lld", &u, &v);
		fa[find(u)] = find(v);
		deg[u]++, deg[v]++;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int id = find(i);
		sz[id].first++, sz[id].second += deg[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if (fa[i] == i && sz[i].first == sz[i].second / 2 + 1) to[i] = ++cnt;
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i].l = inf;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[to[fa[i]]].l = min(a[to[fa[i]]].l, i);
		a[to[fa[i]]].r = max(a[to[fa[i]]].r, i);
	}
	cin >> Q;
	for(int i = 1;i <= Q;i++) scanf("%lld%lld", &a[cnt + i].l, &a[cnt + i].r), a[cnt + i].id = i;
	sort(a + 1, a + cnt + Q + 1, Cmp);int mxl = 0;
	for(int i = 1;i <= cnt + Q;i++) 
	{
		if (!a[i].id) mxl = max(mxl, a[i].l);
		else ans[a[i].id] = (a[i].l > mxl);
	}
	for (int i = 1; i <= Q; i++) cout << (ans[i] ? "Yes" : "No") << endl;
	return 0;
}