C0328 【1005 C组】模拟测试 斜率 题解

原题链接：斜率。

题意

在一个平面直角坐标系中，给定 \(n\) 个点的横纵坐标，求出哪两个点所构成的连线的斜率最接近 \(\frac{P}{Q}\)。

数据范围：\(n \le 1000000\)。

思路

显然这是一道数学题，不能直接暴力去找答案。

首先我们可以弱化一下题目，求出斜率最接近 \(y=0\) 即 \(x\) 轴的两点。那我们其实要求的就是斜率的绝对值最小的两点。那么我们可以直接将这 \(n\) 个点按照横坐标的大小排序，然后答案就是组成的线段中斜率的绝对值最小的相邻的两个点。为什么答案一定在相邻两个点中呢？因为如下图所示，对于每一个 \(\bigtriangleup ABC\)，都满足性质：\(k_{ac}> \min(k_{ab},k_{bc})\)。

证明：

设三角形三个点的坐标分别为 \(A(a,b),B(e,f),C(c,d)\)。

我们可以用反证法来证明，假设该性质不成立，即 \(k_{ac} \le k_{ab},k_{bc}\)，那么：

\(\because\bigtriangleup ABC\)，不可能有两边斜率相等。

\(\therefore k_{ac} < k_{ab},k_{bc}\)

\(\because \begin{cases}k_{ac}< k_{ab} \\k_{ac}< k_{bc} \end{cases}\)

\(\therefore \begin{cases}\left|\frac{d-b}{c-a}\right|< \left|\frac{b-f}{a-e}\right| \\\left|\frac{d-b}{c-a}\right|< \left|\frac{d-f}{c-e}\right| \end{cases} \)

\(\because d-b>0,c-a>0,b-f>0,a-e<0,d-f>0,c-e>0\)

化简原不等式得：
\( \begin{cases}\frac{d-b}{c-a}< \frac{b-f}{e-a} \\\frac{d-b}{c-a}< \frac{d-f}{c-e} \end{cases} \)

不等式两边交叉相乘得：
\( \begin{cases}de+ab-ad-be<cb+af-ab-cf \\cd+be-cb-de<cd+af-ad-cf \end{cases} \)

\(\therefore \begin{cases}2ab+de+cf<cb+af+ad+be \\be+ad+cf<af+bc+ed \end{cases} \)

两式相减得：\(ed+2ab-be-ad<ad+be-ed\)

\(\therefore 2ab+2ed<2ad+2be\)

\(\therefore ab+ed<ad+be\)

\(\therefore ab-ad<be-ed\)

\(\therefore a\times(b-d)<e\times(b-d)\)

\(\because b-d<0\)

\(\therefore a>e\)

如图所示，显然有 \(a<e\)，所以原不等式组无解，于是得证，所以斜率最小的两个点一定是相邻的。

接下来我们来考虑如何求出斜率最接近 \(\frac{P}{Q}\) 的两个点，可以用和上述类似的方法来解答，我们不妨建立一个以现在的直线 \(y=\frac{P}{Q}x\) 为 \(x\) 轴的新的平面直角坐标系，这样问题就转化为了求斜率的绝对值最小的两点，可以用上面所说的做法来实现，但是如何旋转坐标系呢？

我们需要将 \(y=\frac{P}{Q}x\) 这条直线旋转到 \(x\) 轴，设其顺时针旋转了 \(\alpha\) 度，那么这个操作其实等价于将原来坐标系中的每一个点逆时针旋转 \(\alpha\) 度。问题就转化了如何求出一个点逆时针旋转 \(\alpha\) 度后的坐标。

如下图所示设两个点分别是 \(B\) 和 \(D\)，\(\angle DAB=\alpha\)，\(\angle BAC=\beta\)，结论为：若 \(B(x,y)\)，则有 \(D(x\cos \alpha - y\sin \alpha,x\sin \alpha + y \cos \alpha)\)。

证明：

\(\because B(x,y)\)，\(\therefore AC=x,BC=y\)

\(\therefore AB=AD=\frac{x}{\cos \beta}=\frac{y}{\sin \beta}\)

\(\therefore \begin{cases}DE=AD\times \sin\alpha+\beta \\AE=AD\times \cos\alpha+\beta \end{cases} \)

\(\because \begin{cases}\sin\alpha+\beta=\sin \alpha \times \cos \beta+\sin\beta\times \cos \alpha \\\cos\alpha+\beta=\cos\alpha\times\cos\beta-\sin\alpha\times \sin\beta \end{cases} \)（和角公式）

\(\therefore \begin{cases}DE=AD\times (\sin \alpha \times \cos \beta)+AD \times (\sin\beta\times \cos \alpha) \\AE=AD\times (\cos\alpha\times\cos\beta)-AD\times(\sin\alpha\times \sin\beta) \end{cases} \)

将 \(AD=\frac{x}{\cos \beta}=\frac{y}{\sin \beta}\) 带入原不等式得：
\( \begin{cases}DE=\frac{x}{\cos \beta}\times (\sin \alpha \times \cos \beta)+\frac{y}{\sin \beta} \times (\sin\beta\times \cos \alpha) \\AE=\frac{x}{\cos \beta}\times (\cos\alpha\times\cos\beta)-\frac{y}{\sin \beta}\times(\sin\alpha\times \sin\beta) \end{cases} \)

拆括号得：
\( \begin{cases}DE=x\times \sin \alpha +y \times \cos \alpha \\AE=x\times \cos\alpha-y\times \sin\alpha \end{cases} \)

又 \(\because D(AE,DE)\)

\(\therefore D(x\cos \alpha - y\sin \alpha,x\sin \alpha + y \cos \alpha)\)，得证。

所以最终的做法是：将每个点逆时针旋转后得到新的点，再将新的点按照横坐标排序，答案为相邻两点构成的直线的斜率与 \(y=\frac{P}{Q}\) 的差的最小值。