P1903 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列 题解

原题链接：P1903

题意

对于一个序列，维护两个操作：

• 将 \(a_{x}\) 改为 \(p\)。

• 求 \(l\) 到 \(r\) 中有多少个不同的数

思路

这道题本来是带修莫队的板子的，但是我是使用分块做的。

具体思路挺板的...但是这道题其实有个 \(trick\)。就是我们先预处理记录 \(pre_{i}\) 表示上一个 \(a_{i}\) 出现的位置。假设查询的区间为 \(l\) 到 \(r\)，如果 \(pre_{now} < l\)，那么就说明当前这个颜色在这个区间内还没有出现过，于是 \(ans++\)。修改的时候需要更新 \(now\) 位置以及前后最近的两个的和 \(now\) 相同颜色的位置的 \(pre\) 的值。然后就可以分块做了。

首先，对于修改操作，我们假设需要修改的区间为 \(l\) 到 \(r\)。我们可以将操作分为三个部分。

• \(l\) 到 \(l\) 所在块的结尾。我们可以直接暴力地去修改这个区间的每一个数，因为这一段区间的长度最长为 \(s\)，修改的时间复杂度为 \(O(s)\)。

• \(l\) 所在块的后一块到 \(r\) 所在块的前一块。对于每一块，我们都可以直接修改一整个块的信息（\(p\) 数组），不需要对每一个数进行修改。而一共最多有 \(n/s\) 个块，时间复杂度 \(O(n/s)\)。

• \(r\) 所在块的起点 到 \(r\) 。同理，这一段区间的长度最长也为 \(s\)，修改的时间复杂度为 \(O(s)\)。

接下来是查询操作，我们还是假设需要查询的区间为 \(l\) 到 \(r\)。我们也可以将查询操作分为三个部分。

• \(l\) 到 \(l\) 所在块的结尾。我们可以直接暴力地去计算这个区间的每一个数，因为这一段区间的长度最长为 \(s\)，修改的时间复杂度为 \(O(s)\)。

• \(l\) 所在块的后一块到 \(r\) 所在块的前一块。我们会维护一个 \(p\) 数组来记录每一个区间内的信息（修改时也会更新 \(p\) 数组）， 这样就不需要对每一个数进行计算 ，只需要把每一块的信息加起来即可 。而一共最多有 \(n/s\) 个块，时间复杂度 \(O(n/s)\)。

• \(r\) 所在块的起点 到 \(r\) 。同理，这一段区间的长度最长也为 \(s\)，查询的时间复杂度为 \(O(s)\)。

于是这道题就做完了。