矩阵学习笔记

前言

蒟蒻刚刚开始学矩阵，有些东西可能理解得不是特别好。

矩阵的定义

在 \(c\)++ 中，矩阵其实就是一个 \(n*m\)，可以做运算的二维数组。也是运算的中的一种基本单位。

特殊的矩阵

在矩阵的运算过程中，可能会用到一些特殊的矩阵的名称，以下是比较常见的一些特殊矩阵：

• 同型矩阵：两个矩阵，行数与列数对应相同，称为同型矩阵。

• 方阵：\(n*n\) 的矩阵。

• 乘法单位元：\(a_{i,i} = 1\),其余位置为零的矩阵。

• 加法单位元：\(a\) 数组全为零的矩阵。

矩阵的运算

1. 矩阵加法

矩阵加法其实和正常的加法非常相似，对于两个同型矩阵 \(a,b\)，每一位的加法运算过程如下：

\(ans_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}\)

2. 矩阵乘法

矩阵乘法就和一般的乘法差别很大了，矩阵乘法相当于是用 \(a\) 矩阵的列去乘 \(b\) 矩阵的行，但乘法运算有一个前提：\(a\) 矩阵的列数和 \(b\) 矩阵的行数必须相等，否则运算无意义。 对于满足条件的两个矩阵，每一位的乘法运算过程如下：

设 \(a\) 矩阵 \(n*m\)，\(b\) 矩阵 \(m*p\)，则：

$ans_{i,j} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p} a_{i,k}*b_{k,j} $

Code

void mul()
{
	int ans[MAXN][MAXM] = {};
	for(int k = 1;k <= m;k++)
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			for(int j = 1;j <= p;j++)
				ans[i][j] = (ans[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mod;
	return;
}

3. 矩阵快速幂

模板题：P3390
练习题：CF575A

当我们需要计算矩阵 \(a^{k}\) 且 \(k\) 十分大的时就，我们就需要用到矩阵快速幂了，思路和普通快速幂一样，不多赘述。不一样的就只是多了两个函数来计算矩阵乘法。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ls id << 1
#define rs id << 1 | 1
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef pair <int,int> pii;
const int MAXN = 1e2 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int n,k,a[MAXN][MAXN],ans[MAXN][MAXN]; 
void mul1()
{
	int res[MAXN][MAXN] = {};
	for(int k = 1;k <= n;k++)
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			for(int j = 1;j <= n;j++)
				res[i][j] = (res[i][j] + ans[i][k] * a[k][j]) % mod;
	for(int i = 1;i <= n;i++) for(int j = 1;j <= n;j++) ans[i][j] = res[i][j];
}
void mul2()
{
	int res[MAXN][MAXN] = {};
	for(int k = 1;k <= n;k++)
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			for(int j = 1;j <= n;j++)
				res[i][j] = (res[i][j] + a[i][k] * a[k][j]) % mod;
	for(int i = 1;i <= n;i++) for(int j = 1;j <= n;j++) a[i][j] = res[i][j];
}
signed main()
{
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1;i <= n;i++) for(int j = 1;j <= n;j++) cin >> a[i][j];
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans[i][i] = 1;
	for(;k;k >>= 1){if(k & 1) mul1();mul2();}
	for(int i = 1;i <= n;i++) 
	{
		for(int j = 1;j <= n;j++) cout << ans[i][j] % mod << " ";
		puts(" ");
	}
    return 0;
}

矩阵的应用

最经典的应用要数斐波那契数列了，我们可以通过矩阵快速幂在 \(O(logn)\) 的时间内求出斐波那契数列的第 \(n\) 项。具体做法如下。

首先我们知道斐波那契数列的递推式：

\(f_{i}=1*f_{i-1}+1*f_{i-2}\) 且 \(f_{i-1}=1*f_{i-1}+0*f_{i-2}\)。

我们可以把 \((f_{i},f_{i-1})\) 看作一个矩阵，把 \(f\) 数组前面的系数 \((1,1,1,0)\) 也看成一个矩阵，这样斐波那契数列的递推式也就可以等价转化成一个矩阵乘法的式子，即：

\(\begin{pmatrix}f_{i}\\f_{i-1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}f_{i-1}\\f_{i-2}\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1& 1\\1&0\end{pmatrix}\)

这样就可以用矩阵快速幂轻松解决了。