Partition into Groups 题解

原题链接：Partition into Groups

PS：这是今天上午NOIP模拟赛的T3。

题意

N个小朋友，每个小朋友最多有3个敌对小朋友，
问是否能把他们分成两组，使得这N个小朋友最多只有一个敌对小朋友在一组。

思路

考场上想肯定与二分图有关，最后没想出来，打了15分暴力就走了（最后还只有10分） 。

考后听完xqw大佬讲题过后，发现思路很巧妙。

首先将两组看作两个集合，初始时都在\(1\)集合。每一次将两个集合中不符合题目要求的点（即在当前集合中敌对数\(>=2\)的点）换到另外一个集合中去，重复执行此操作，最终一定会得到答案。

对没错，这道题一定有解，不可能输出NO SULOTION，这也就是此题奇妙之处了。

证明

首先每次将点换集合的条件是：在当前集合中敌对数\(>=2\)。而题目说过每个点最多一共有\(3\)个敌对点，所以：

换集合后，原来集合敌对数至少\(-2\)，新集合敌对数至多\(+1\)。

所以每次操作至少会减少一个敌对数，所以一直操作一定可以满足题意。

总结

这道题主要考的还是思维，证明的思路非常难想但又非常优美。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls id << 1
#define rs id << 1 | 1
const int MAXN = 1e5 + 10;
int n,c[MAXN],x,cnt,head[MAXN],col[MAXN],q[MAXN],ans1[MAXN],ans2[MAXN],top1,top2;
bool vis[MAXN];
struct Node
{
	int u,v,nxt;
}e[MAXN << 4];
void Add(int u,int v){e[++cnt] = {u,v,head[u]};head[u] = cnt;}
signed main()
{
	memset(head,-1,sizeof head);
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		scanf("%d",&c[i]);
		for(int j = 1;j <= c[i];j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			Add(i,x);
		}
	}
	int l = 0,r = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++) col[i] = vis[i] = 1,q[r++] = i;
	for(;l != r;l++)
	{
		int u = q[l],sum = 0;
		vis[u] = false;
		for(int i = head[u]; ~ i;i = e[i].nxt)
		{
			int now = e[i].v;
			if(col[u] == col[now]) sum++;
		}
		if(sum >= 2)
		{
			col[u] = 3 - col[u];
			for(int i = head[u]; ~ i;i = e[i].nxt)
			{
				int now = e[i].v;
				if(vis[now] == false) if(r < 1e6) q[r++] = now;
			}
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++) 
	{
		if(col[i] == 1) ans1[++top1] = i;
		if(col[i] == 2) ans2[++top2] = i; 
	}
	if(top1 < top2 || (top1 == top2 && col[1] == 1))
	{
		printf("%d\n",top1);
		for(int i = 1;i <= top1;i++) printf("%d ",ans1[i]);
	}
	else 
	{
		printf("%d\n",top2);
		for(int i = 1;i <= top2;i++) printf("%d ",ans2[i]);
	}
    return 0;
}