Dijkstra学习笔记

模板题：P4779

Dijkstra算法

\(Dijstra\)算法是一种求解非负权图上单源最短路径的算法，这种算法不可以解决负环问题。

做法

首先要定义松弛操作。对于一条边（\(u,v\)），松弛操作对应下面的运算：\(dis_{v}\) = \(dis_{u}\) + \(w_{u,v}\)。

对于\(Dijkstra\)，我们可以将结点分成两个集合：已确定最短路长度的点集（记为\(S\)集合）的和未确定最短路长度的点集（记为$ T\(集合）。一开始所有的点都属于\)T\(集合。设源点为\)s\(，初始化\)dis_{s} =0\(，其他\)dis\(为正无穷。每一次从 \)T\(集合中选最短路最小的加入\)S\(集合中，并对其出边进行松弛操作，重复操作直到\)T$集合为空为止。

证明

关于证明，可以用反证法，但我也不会证。主要是证明在执行操作时，取出的结点\(u\)最短路均已经被确定，即满足\(D(u)\) = \(dis(u)\)。大概感性理解一下，因为每次选出的点都是\(T\)集合中最短路最小的点。具体证明可以参考oiwiki。

时间复杂度

\(Dijksra\)有三种实现方法，一种是直接每次暴力寻找最短路最小的点，时间复杂度\(O(n^{2} + m)\)，这种方法时间复杂度很高，不常用。第二种是用优先队列优化，这种方法是最普遍的。因为每个点可能被修改多次，所以优先队列里的数是\(O(m)\)的，总复杂度\(O(mlogm)\)，可以接受。第三种是用线段树优化，支持单点修改和全局查询，时间复杂度\(O(mlogn)\)，但是码量比较大。

Code

这里是用优先队列写的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair <int,int> pii;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int MAXN = 1e5 + 10;
int head[MAXN],cnt,n,m,x,y,z,dis[MAXN],s;
bool vis[MAXN];
struct Node
{
	int u,v,w,nxt;
}e[MAXN << 1];
void add(int u,int v,int w){e[++cnt] = {u,v,w,head[u]};head[u] = cnt;}
priority_queue <pii,vector <pii>,greater <pii> > q;
void dijkstra(int s,int n)
{
	memset(dis,inf,sizeof dis);
	dis[s] = 0;
	q.push(make_pair(n,s));
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.top().second
		;q.pop();
		if(vis[u] == true) continue;
		vis[u] = true;
		for(int i = head[u]; ~ i;i = e[i].nxt)
		{
			int now = e[i].v;
			if(dis[u] + e[i].w < dis[now]) 
			{
				dis[now] = dis[u] + e[i].w;
				q.push(make_pair(dis[now],now));
			} 
		}
	}
}
int main()
{
	memset(head,-1,sizeof head);
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 1;i <= m;i++) cin >> x >> y >> z,add(x,y,z);
	dijkstra(s,0);
	for(int i = 1;i <= n;i++) cout << dis[i] << " ";
	return 0;
}